Kompleksni brojevi
Trigonometrijski oblik kompleksnog broja
\( z=r(\cos \varphi+i \sin \varphi) \)
Broj $r$ je modul pa ga računamo formulom koju već znamo, a za $\varphi$ imamo novu formulu.
\( r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \)
\( tg \varphi=\frac{y}{x} \)
Računanje s kompleksnim brojevima u trigonometrijskom obliku
Označimo kompleksne brojeve s kojima ćemo raditi s $z_{1}=r_{1}\left(\cos \varphi_{1}+i \sin \varphi_{1}\right)$ i $z_{2}=r_{2}\left(\cos \varphi_{2}+i \sin \varphi_{2}\right)$.
Zbrajanje i oduzimanje rade se kao i kod običnih kompleksnih brojeva, izračunamo realni dio s realnim, a imaginarni s imaginarnim.
množenje, dijeljenje, potenciranje i korjenovanje imamo posebne formule.
\( z_1 \pm z_2 = r_1 \cos \varphi_1 \pm r_2 \cos \varphi_2 + i(r_1 \sin \varphi_1 \pm r_2 \sin \varphi_2) \)
\( z_{1} \cdot z_{2}=r_{1} r_{2}\left(\cos \left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)+i \sin \left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)\right) \)
\( \frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{r_{1}}{r_{2}}\left(\cos \left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)+i \sin \left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)\right) \)
\( z^{n}=r^{n}(\cos n \varphi+i \sin n \varphi) \)
\( \sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\left(\cos \frac{\varphi+2 k \pi}{n}+i \sin \frac{\varphi+2 k \pi}{n}\right), \quad k=0,1, \ldots, n-1 . \)
Zadatci s državne mature:
Trigonometrijski oblik kompleksnog broja
