Trigonometrijski oblik kompleksnog broja

SŠ

Mat A

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja $z=x+yi$, gdje je $r$ modul kompleksnog broja $z$, a $\varphi$ argument kompleksnog broja $z$(kut pod kojim se $z$ nalazi u odnosu na pozitivni dio $x$-osi) je dan formulom

$ z=r(\cos \varphi+i \sin \varphi) $

Broj $r$ je modul pa ga računamo formulom koju već znamo, a za $\varphi$ imamo novu formulu.

$ r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} $

$ tg \varphi=\frac{y}{x} $

Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja

Računanje s kompleksnim brojevima u trigonometrijskom obliku

Označimo kompleksne brojeve s kojima ćemo raditi s
$z_{1}=r_{1}\left(\cos \varphi_{1}+i \sin \varphi_{1}\right)$ i $z_{2}=r_{2}\left(\cos \varphi_{2}+i \sin \varphi_{2}\right)$.

$\textbf{Zbrajanje i oduzimanje}$ rade se kao i kod običnih kompleksnih brojeva, izračunamo realni dio s realnim, a imaginarni s imaginarnim.
Za $\textbf{množenje, dijeljenje, potenciranje i korjenovanje}$ imamo posebne formule.

$ z_1 \pm z_2 = r_1 \cos \varphi_1 \pm r_2 \cos \varphi_2 + i(r_1 \sin \varphi_1 \pm r_2 \sin \varphi_2) $

$ z_{1} \cdot z_{2}=r_{1} r_{2}\left(\cos \left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)+i \sin \left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)\right) $

$ \frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{r_{1}}{r_{2}}\left(\cos \left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)+i \sin \left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)\right) $

$ z^{n}=r^{n}(\cos n \varphi+i \sin n \varphi) $

$ \sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\left(\cos \frac{\varphi+2 k \pi}{n}+i \sin \frac{\varphi+2 k \pi}{n}\right), \quad k=0,1, \ldots, n-1 . $

Kviz za maturu

Riješi kratak kviz i saznaj jesi li spreman za maturu!

Izabrali smo ti 10-ak pitanja kroz koje možeš vidjeti jesi li spreman za ovogodišnju maturu.

Matematika A Matematika B

Zadatci s državne mature:

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja

Kompleksni brojevi i Gaussova ravnina Pojam niza

Matematika A

Pripreme za maturu

Saznaj više

Povezana gradiva:

Kompleksni brojevi i Gaussova ravnina
Pojam niza