Pojam niza

Niz realnih brojeva je svaka funckija koja svakom prirodnom broju pridruži neki realni. Matematički zapisano, to je funkcija $a: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$. Niz $a$ označavamo s $(a_n)_n$ ili samo $(a_n)$, $n \in \mathbb{N}$.

Dakle, prvi član niza je onaj broj koji je pridružen jedinici. Označavamo $a_1$ umjesto $a(1)$.

Drugi član niza je $a_2$, treći $a_3$ i tako dalje za sve prirodne brojeve.

Opći član niza je element $a_n$, odnosno broj koji se nalazi na $n$-tom mjestu u nizu. Niz ima beskonačno mnogo članova, a članove odvajamo zarezom.

Zadavanje nizova

• preko općeg člana: zadan je opći član $a_n$, a onda do bilo kojeg drugog člana dođemo tako da u zapisu i formuli općeg člana zamijenimo $n$ s brojem koji nas zanima
• rekurzivno: zadano je prvih nekoliko članova niza, npr $a_1$ i $a_2$, a svi sljedeći su onda zadani korištenjem prethodnih članova
• riječima: samo dobro pročitamo kakav nas niz traže, npr. niz neparnih brojeva bi bio $1,3,5, \ldots$

Monotonost niza

Niz $\left(a_{n}\right)$ je rastući ako za svaki $n$ vrijedi $a_{n} \leqslant a_{n+1}$, odnosno ako je svaki sljedeći član niza veći od prethodnog.

Niz $\left(a_{n}\right)$ je padajući ako za svaki $n$ vrijedi $a_{n} \geqslant a_{n+1}$, odnosno ako je svaki sljedeći član niza manji od prethodnog.

Ako je niz rastući ili padajući, kažemo da je on monoton.

Omeđenost niza

Niz $\left(a_{n}\right)$ je ograničen (omeđen) ako postoje brojevi $m$ i $M$ takvi da vrijedi $m \leqslant a_{n} \leqslant M$ za svaki broj $n$.

Drugim riječima, niz je ograničen odozdo ako postoji neki broj $m$ od kojeg niti jedan član niza nije manji. Još kažemo da je $m$ donja međa niza.

Niz je ograničen odozgo ako postoji neki broj $M$ od kojeg niti jedan član niza nije veći. Još kažemo da je $M$ gornja međa niza.