Kružnica i krug

Matematika A 2. razred Matematika B

Kružnica je skup svih točaka koje su jednako udaljene od neke fiksne točke. Oznaka je $k(S,r)$.
Točka $S$ predstavlja tu fiksnu točku i koju zovemo središte.
Polumjer (radijus) kružnice je $r$ i to je udaljenost od središta do bilo koje točke na kružnici.

Krug je dio ravnine omeđen kružnicom. Drugim riječima, to su sve točke koje se nalaze na kružnici i unutar nje, odnosno koje su od njezinog središta udaljene za manje ili jednako od radijusa. Oznaka je $K(S, r)$.

Dakle, jednostavnim riječima: kružnica je samo linija koja ide izvana oko središta, a krug je onaj dio prostora koji se nalazi unutar te linije (uključujući i tu liniju, odnosno kružnicu).

Kruznica i krug - desktop5818ab67f68a36128e6f00c479560be955f16695

Kruznica i krug - mobile7e61f8b19fac0174c352d5e1ba60475e1c3c9dfd

Tetiva je dužina koja spaja svije točke na kružnici.

Najduža tetiva je ona koja prolazi kroz središte i zove se promjer (dijametar). Duljina mu je dva polumjera.

Kružni luk je dio kružnice između neke dvije točke. Primijetimo da dvije točke uvijek određuju dva kružna luka.

Kružni odsječak je dio kruga nastao kada ga presiječemo tetivom. Ponovno, na ovaj način nastaju dva kružna odsječka, ovisno s koje strane gledamo.

Kružni isječak je dio kruga omeđen s dva polumjera i odgovarajućim kružnim lukom.

Tetive isjecci etc - desktopd8aca4f9b0bab2281bf9ba08dda824ac78da28a8

Tetive isjecci etc - mobilec1bbc108f82f99f942dfd281fc8703967b268d84

Koncentrične kružnice su kružnice koje imaju isto središte, a različit radijus.

Dio kruga između dvije koncentrične kružnice je kružni vijenac.

Koncentrične kružnice - desktop – 13460e9bae42c8cad19b6b77c938ef631bff71024

Koncentrične kružnice - mobile2e9eb3ba71ea4b699895577c722eed72d8964de6

Formule

Opseg i površina kruga.

$ O=2 r \pi $

$ P=r^{2} \pi $

Formule za duljinu kružnog luka i površinu kružnog isječka koriste kut koji zatvaraju radijusi u središtu. Označava se s $\alpha$ (pogledaj gornju sliku).

$ l=\frac{r \pi \alpha}{180} $

$ P=\frac{r^2 \pi \alpha}{360}=\frac{rl}{2} $

Imamo i formulu za površinu kružnog vijenca. Veliko $R$ je polumjer većeg kruga, a malo $r$ manjeg kruga.

$ P=\left(R^2-r^2\right) \cdot \pi $

Središnji i obodni kut

Obodni kut je kut koji ima vrh negdje na kružnici, a krakovi mu sijeku kružnicu (odnosno krakovi prolaze kroz neke druge dvije točke na kružnici).

Središnji kut ima vrh u središtu, a krakovi mu isto sijeku kružnicu (odnosno krakovi prolaze kroz neke druge dvije točke na kružnici).

Poučak o obodnom kutu: Središnji kut je dva puta veći od obodnog kuta nad istim kružnim lukom.

Sredisnji i obodni kut - desktop – 15bc778b6b3bc62e6d3affbed4ef18fd4fd6d3cfd

Sredisnji i obodni kut - mobile – 1522f464d47f09890eda03b72bad1a50d67f3c418

Svi obodni kutovi nad istim kružnim lukom su jednako veliki.

Talesov poučak: Obodni kut nad promjerom je uvijek pravi kut.

Obodni kutevi - desktop – 143efb336cb17bdd07c80fbace127a0ccb72b376c

Obodni kutevi - mobile – 14d2f4c40d7cfa30ad90f4d5d5cf059737ca0ecb5

Tangenta kružnice

Tangenta kružnice je pravac koji dodiruje kružnicu u jednoj točki. Tu točku zovemo diralište i najčešće se označava sa slovom $D$. Radijus na diralište i tangenta uvijek zatvaraju pravi kut.

Obodni kut nad nekom tetivom jednak je kutu koji zatvaraju ta tetiva i tangenta kroz jednu krajnju točku te tetive.

Tangenta kruznice - desktop896a939bda849b68048e99bb592419893ce6ddf2

Tangenta kruznice - mobilea80fd70a4cd7df5471cf4722c6404612147b1aac

Konstrukcija tangente na kružnicu

Želimo konstruirati tangentu na kružnicu iz neke točke. Postoje tri slučaja:

Točka $T$ se nalazi unutar kružnice - iz nje ne možemo povući tangentu.

Točka $T$ se nalazi na kružnici - postoji jedna tangenta i ta točka je njezino diralište. S obzirom da je tangenta okomita na polumjer, jednostavno spojimo polumjer do te točke $T$ te kroz nju povučemo okomicu na polumjer.

Točka $T$ se nalazi izvan kružnice - postoje dvije tangente iz te točke na kružnicu. Spojimo središte kružnice $S$ s tom točkom $T$ i pronađemo polovište $P$ te dužine. Konstruiramo kružnicu sa središtem u polovištu i polumjerom duljine $|PS|$. Sjecišta te kružnice s početnom kružnicom su dirališta tangenti te jednostavno povučemo tangente iz točke $T$ kroz dirališta i dobijemo dvije tangente.