Trigonometrijski oblik kompleksnog broja

Matematika A 4. razred

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja $z=x+yi$, gdje je $r$ modul kompleksnog broja $z$, a $\varphi$ argument kompleksnog broja $z$ (kut pod kojim se $z$ nalazi u odnosu na pozitivni dio $x$-osi) je dan formulom:

$ z=r(\cos \varphi+i \sin \varphi) $

Broj $r$ je modul pa ga računamo formulom koju već znamo, a za $\varphi$ imamo novu formulu.

$ r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} $

$ tg \varphi=\frac{y}{x} $

Trig_prikaz_kompl_broja_-_desktopa1e35b2e65003aa876698f142551b02dc5bccb10

Trapez_-_mobile_17f7a9e20cbf89cd76a8fa08e2938460995cbd154

$\varphi$ ćemo dobiti tako što ćemo u kalkulator unijeti $arctg(\frac{y}{x})$. Međutim, iako će nam kalulator izbaciti vrijednost za $\varphi$, nekada će biti potrebno taj kut prilagoditi kvadrantu u kojem se nalazi naš kompleksan broj. Taj kompleksan broj je potrebno prikazati u kompleksnoj ravnini tj. dovoljno je označiti u kojem kvadrantu se on nalazi. Također, sjetimo se da kada rješavamo trigonometrijsku jednadžbu s funkcijom tangensa, da na rješenje koje izbaci kalkulator dodajemo "$+2k\pi, k \in \mathbb{Z}$". Kada znamo te dvije stvari, lako ćemo odrediti koji kut odgovara našem kompleksnom broju. Pogledajmo na primjeru određivanje $\varphi$ kao i samo određivanje trigonometrijskog prikaza kompleksnog broja.

Računanje s kompleksnim brojevima u trigonometrijskom obliku

Označimo kompleksne brojeve s kojima ćemo raditi s $z_{1}=r_{1}\left(\cos \varphi_{1}+i \sin \varphi_{1}\right)$ i $z_{2}=r_{2}\left(\cos \varphi_{2}+i \sin \varphi_{2}\right)$.

Zbrajanje i oduzimanje rade se kao i kod običnih kompleksnih brojeva, izračunamo realni dio s realnim, a imaginarni s imaginarnim.

Za množenje, dijeljenje, potenciranje i korjenovanje imamo posebne formule.

$ z_1 \pm z_2 = r_1 \cos \varphi_1 \pm r_2 \cos \varphi_2 + i(r_1 \sin \varphi_1 \pm r_2 \sin \varphi_2) $

$ z_{1} \cdot z_{2}=r_{1} r_{2}\left(\cos \left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)+i \sin \left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)\right) $

$ \frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{r_{1}}{r_{2}}\left(\cos \left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)+i \sin \left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)\right) $

$ z^{n}=r^{n}(\cos n \varphi+i \sin n \varphi) $

$ \sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\left(\cos \frac{\varphi+2 k \pi}{n}+i \sin \frac{\varphi+2 k \pi}{n}\right), \quad k=0,1, \ldots, n-1 . $

Prošlo gradivoKompleksni brojevi i Gaussova ravnina

Iduće gradivoPojam niza

PRIPREME ZA MATURU

Složi svoju kombinaciju i uštedi do

140 eura!

Povezani sadržaj:

Kompleksni brojevi i Gaussova ravnina

Pojam niza

Besplatna videorješenja za gradivo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja

8. Koji je od navedenih brojeva realan?

6. Koliki je argument $ \varphi $ u trigonometrijskome prikazu kompleksnoga broja $ z=5 i $?

Pretplati se na naše instrukcije ili kupi paket priprema za maturu i otključaj sve videe

26. Zapišite u trigonometrijskome obliku kompleksni broj kojemu je u kompleksnoj ravnini pridružena točka $ (5,5) $.

28. Odredite trigonometrijski zapis kompleksnoga broja $ z=-2+2 i $.

28. Odredite trigonometrijski zapis kompleksnoga broja $ z=-4 $.

20.2. Odredite jedan kompleksan broj $ w $ za koji vrijedi $ w=\sqrt[3]{8 i} $.

26.1. Koliki je argument $ \varphi $ kompleksnoga broja $ (1-i)^{2} $ ?

18.2. Zadan je kompleksan broj $ z=3\left(\cos \frac{2 \pi}{7}+i \sin \frac{2 \pi}{7}\right) $. Koja je vrijednost argumenta $ \varphi $ broja $ z^{6} ? $

29.2. Zadani su kompleksni brojevi $ z=-\sqrt{3}+i$, $w=\frac{1}{8}\left(\cos \frac{5 \pi}{3}+i \sin \frac{5 \pi}{3}\right) $. Izračunajte $ z \cdot w $ i napišite rezultat u trigonometrijskome obliku.

28. Napišite trigonometrijski zapis nekoga kompleksnog broja kojemu je pridružena točka na imaginarnoj osi u kompleksnoj (Gaussovoj) ravnini.

25.2. Koliki je argument $ \varphi $ u trigonometrijskome zapisu kompleksnoga broja $ z=i \cdot\left(\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}\right) $?

20.2. Odredite apsolutnu vrijednost broja $ z=2 \cos \frac{2 \pi}{7}+i \cdot 2 \sin \frac{2 \pi}{7} $.

20.1. Kompleksan broj $ z=-3 i $ prikažite u trigonometrijskome obliku.

21.1. Odredite kompleksni broj $ z $ prikazan na slici.

ŠTO ČEKAŠ?

Isprobaj potpuno besplatno!

Registracijom dobivaš besplatan*
pristup dijelu lekcija za svaki predmet.

*Besplatan pristup ne zahtijeva unos kartice.

ZA MATURANTEOnline pripreme OD 1. DO 4. RAZREDAOnline instrukcije

Online pripreme za maturu i instrukcije za srednju školu. Dostupno 24/7.

Naša ponuda

Online skripte

Pravne stranice