Trokut

Trokut $\triangle A B C$ je dio ravnine odmeđen dužinama $\overline{A B}, \overline{B C}$ i $\overline{C A}$. Točke $A, B$ i $C$ se zovu vrhovi trokuta, dužine $\overline{A B}, \overline{B C}$ i $\overline{C A}$ su stranice, a $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$ su unutarnji kutevi trokuta.

Vrste trokuta

Obzirom na duljine stranica u trokutu, razlikujemo 3 trokuta: jednakostranični (sve stranice su jednake duljine), jednakokračni (dvije stranice su jednake duljine) i raznostranični (sve stranice su različite duljine).

Obzirom na veličine kuteva, opet imamo 3 vrste: pravokutni (ima jedan pravi kut), šiljastokutni (svi kutevi su šiljasti) i tupokutni (ima jedan tupi kut).

Svojstva trokuta

• Zbroj duljina bilo koje dvije stranice trokuta mora biti veći od duljine treće stranice trokuta (nejednakost trokuta).
• Zbroj unutarnjih kuteva u trokutu iznosi $180^{\circ}$.
• Što je kut veći, nasuprotna stranica je duža. Što je stranica trokuta duža, to je nasuprotni kut veći.
• Vanjski kutovi trokuta su kutevi koji se nalaze uz unutarnje kuteve, a računaju se kao $\alpha^{\prime} = 180^{\circ}-\alpha$, $\beta^{\prime} = 180^{\circ}-\beta$ i $\gamma^{\prime} = 180^{\circ}-\gamma$. (pogledajte prvu sliku)
• Zbroj vanjskih kutova trokuta iznosi $360^{\circ}$.
• Opseg trokuta je zbroj svih stranica tog trokuta, odnosno $O = a + b + c$, gdje su $a, b$ i $c$ stranice trokuta.
• Svaki trokut ima tri visine. Visina je okomica iz vrha trokuta na nasuprotnu stranicu.
• Površina trokuta računa se formulom $P = \frac{a \cdot v_a}{2}$, gdje je $a$ bilo koja stranica trokuta, a $v_a$ visina na tu stranicu.
  Još neke formule za površinu trokuta:
  - Heronova formula: $P=\sqrt{s \cdot (s-a) \cdot (s-b) \cdot (s-c)}$ gdje je $s$ poluopseg odnosno $s=\frac{a+b+c}{2}$
  - $P = r \cdot s=\frac{abc}{4R}$, gdje je $r$ središte trokutu upisane kružnice, a $R$ središte opisane kružnice
  

Karakteristične točke trokuta

• središte opisane kružnice - točka u kojoj se sijeku simetrale stranica trokuta. Simetrala dužine je pravac okomit na tu dužinu koji prolazi njezinim polovištem.

• središte upisane kružnice - točka u kojoj se sijeku simetrale unutarnjih kutova trokuta. Simetrala kuta je polupravac, s početkom u vrhu kuta, koji taj kut dijeli na dva jednaka dijela.

• težište - točka u kojoj se sijeku težišnice trokuta. Težišnica je dužina koja spaja vrh trokuta s polovištem nasuprotne stranice. Težište dijeli težišnicu u omjeru 2:1 gledajući od vrha trokuta.

• ortocentar - točka u kojoj se sijeku pravci na kojima leže visine trokuta