Sustav linearnih jednadžbi

Linearna jednadžba s dvije nepoznanice je jednadžba oblika $ax + by + c = 0$, gdje su $x$ i $y$ nepoznanice, a $a$, $b$ i $c$ neki brojevi. Inače, svaka takva jednadžba ima beskonačno mnogo rješenja.

Međutim, ako dodamo još jednu jednadžbu s dvije nepoznanice dobivamo sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice koji može imati jedno, nijedno ili beskonačno mnogo rješenja.

Rješenje sustava linearnih jednadžbi je svaki par brojeva $(x, y)$ koji zadovoljava obje jednadžbe kada se brojevi $x$ i $y$ ubace u njih.

Rješavanje sustava dviju jednadžbi s dvije nepoznanice

Imamo dvije metode: metoda supstitucije i metoda suprotnih koeficijenata.

Metoda supstitucije

U ovoj metodi, želimo “izraziti” jednu nepoznanicu pomoću druge. Drugim riječima, želimo na jednoj strani bilo koje jednadžbe sustava dobiti da piše samo jedna nepoznanica, a da je sve ostalo na drugoj strani.

Nakon toga, u drugu jednadžbu, onu koju nismo dirali za sad, umjesto nepoznanice iz prvog dijela koja je sama na jednoj strani, ubacimo izraz kojem je ona jednaka. Na taj način dobijemo običnu linearnu jednadžbu koju znamo riješiti.

Metoda suprotnih koeficijenata

U ovoj metodi je bitno da za početak uredno napišemo dvije zadane jednadžbe jednu ispod druge, odnosno nepoznanicu ispod istoimene nepoznanice. Cilj ove metode je namjestiti suprotne brojeve ispred jedne od nepoznanica tj. namjestiti tako da u obje jednadžbe ispred iste nepoznanice stoji isti broj, samo s drugim predznakom. Nakon toga, te nepoznanice prekrižimo, a sve ostalo prepišemo u novu jednadžbu, tako da ono što je bilo lijevo ostaje lijevo, a sve što je bilo na desnoj strani, ostaje desno.

Neki tvrde da postoji i metoda komparacije, no to je samo metoda supstitucije sa više koraka. :)

Broj rješenja

Vidjeli smo primjere gdje smo dobili točno jedno rješenje za $x$ i jedno rješenje za $y$. Međutim rekli smo da sustavi linearnih jednadžbi mogu imati i beskonačno rješenja ili čak niti jedno. Te slučajeve prepoznajemo na sljedeći način:

• Ako tijekom rješavanja jedne jednadžbe dođemo do izraza koji ne sadrži nepoznanice (odnosno sve nepoznanice se ponište ili piše npr. $0x$) i taj izraz je istinit (npr. $0=0$), to znači da sustav ima beskonačno mnogo rješenja.
• Ako tijekom rješavanja jedne jednadžbe dođemo do neke neistine, neke "gluposti" kao npr. $0=1$, možemo odmah stati. Taj sustav nema rješenja. Tu se nepoznanice isto tako ponište, odnosno nemamo ih ili piše npr. $0x$.

Grafičko rješavanje

Linearna jednadžba s dvije nepoznanice je pravac.
Dvije linearne jednadžbe s dvije nepoznanice su dva pravca. Što se tiče rješenja, prisjetimo se kako se mogu odnositi dva pravca u ravnini.

Onda isto vrijedi i za sustave linearnih jednadžbi. Mogu imati jedno rješenje (pravci se sijeku), niti jedno rješenje (pravci su paralelni) ili beskonačno mnogo rješenja (pravci se podudaraju).

Grafičko rješavanje sustava dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice radit ćemo upravo tako da nacrtamo dva pravca koji su zadani preko jednadžbi i pogledamo kako se oni odnose. Dovoljno je napisati odgovor riječima, samo u slučaju kada se sijeku još trebamo i očitati točku u kojoj se sijeku.