Vjerojatnost slučajnog događaja

Zamislimo da izvodimo neki pokus ili eksperiment koji ima slučajne rezultate. Na primjer, bacanje novčića, izvlačenje kuglica iz kutije bez gledanja, izvlačenje karata iz špila,... Sve to su slučajni pokusi.

Jedan mogući rezultat toga slučajnog pokusa zove se ishod ili elementarni događaj. Skup svih mogućih ishoda slučajnoga pokusa zove se prostor elementarnih događaja i označava se s $\Omega$.

Teorijska vjerojatnost

Teorijska vjerojatnost ili vjerojatnost a priori(mi ćemo kraće govoriti samo vjerojatnost) za neki događaj se definira kao omjer broja povoljnih ishoda za taj događaj i broja svih mogućih ishoda. Drugim riječima, to je razlomak koji

  • gore, u brojniku, ima broj ishoda koji nas zanimaju, koje promatramo
  • dolje, u nazivniku, ima ukupni broj svih mogućnosti koje se mogu dogoditi.

Vjerojatnost događaja $A$ označavamo s $P(A)$. U donjoj formuli $card(A)$ predstavlja broj elemenata skupa $A$(odnosno broj povoljnih ishoda), a $card(\omega)$ broj elemenata skupa $\omega$(odnosno broj svih mogućnosti).

\( P(A)=\frac{card(A)}{card(\Omega)} \)
Flowers

Vjerojatnost događaja je broj između nula i jedan. Ako vjerojatnost iznosi 0, to znači da se događaj nikad neće dogoditi i zato ga zovemo nemogući događaj. Događaj koji će se sigurno dogoditi ima vjerojatnost 1 i to je sigurni događaj.

Empirijska vjerojatnost

Zamislimo ponovno da provodimo neki slučajni pokus i mjerimo rezultate koje dobijemo. Empirijska vjerojatnost ili vjerojatnost a posteriori nekog događaja jednaka je broju ishoda u kojima se dogodio događaj koji nas zanima, podijeljeno s ukupnim brojem ponavljanja pokusa.

U donjoj formuli $n(A)$ predstavlja broj puta kada se dogodio događaj $A$ koji promatramo, a $n$ predstavlja ukupni broj pokusa koliko smo izveli.

\( P(A)=\frac{n(A)}{n} \)
Flowers

Pravila za računanje

Navodimo najbitnija pravila za računanje vjerojatnosti. Prije svake formule, stoji njen kratki opis.

Vjerojatnost bilo kojeg događaja mora biti broj između 0 i 1, uključujući ta dva broja.

\( 0 \leq P(A) \leq 1 \)

Vjerojatnost prostora elementarnih događaja je uvijek 1. Rekli smo da su u tom "prostoru" $\omega$ pohranjeni svi mogući ishodi. Pa je onda sigurno da će se dogoditi neki od tih ishoda kada samo od njih i biramo. Odnosno, vjerojatnost je 1. Ako želimo banalizirati, možemo reći "sigurno će se nešto dogoditi."

Na primjer, vjerojatnost da je na kocki pao broj između 1 i 6, uključeno.

\( P(\Omega)=1 \)

Vjerojatnost praznog skupa znači da gledamo vjerojatnost da se nije dogodio niti jedan od mogućih ishoda. To onda mora biti 0 jer znamo da će pokus uvijek završiti nekim ponuđenim ishodom.

Na primjer, vjerojatnost da je na kocki pao broj 7.

\( P(\varnothing)=0 \)

Vjerojatnost komplementa je vjerojatnost da se dogodilo sve osim nekog događaja. Ako je ukupna vjerojatnost da se bilo što dogodi 1, onda je vjerojatnost da se događaj NE dogodi 1 minus vjerojatnost da se događaj dogodi. Takav događaj se još zove i suprotan događaj. Oznaka je $\bar{A}$.

Na primjer, vjerojatnost da je na kocki pao neparan broj je 1 minus vjerojatnost da je na kocki pao paran broj.

\( P(\bar{A})=1-P(A) \)

Vjerojatnost razlike događaja je vjerojatnost da se dogodio događaj $A$, ali da se nije dogodio događaj $B$.

Na primjer, vjerojatnost da je na kocki pao broj manji od 3, ali da nije pao paran broj.

U formuli koristimo vjerojatnost događaja $A \backslash B$, odnosno da se istovremeno dogodilo i $A$ i $B$.

Na primjer, događaj da je pao broj manji od 3 i da je paran. To je zapravo događaj "pao je broj 2."

\( P(A \backslash B)=P(A)-P(A \cap B) \)

Unija dva događaja se ostvaruje ako se dogodi ili prvi događaj ili drugi događaj koji promatramo. Dakle, svejedno nam je koji se dogodio, dok god je jedan od njih dva.

Na primjer, unija događaja "pao je broj 5 ili 6" i "pao je paran broj" bi bio događaj "pao je broj 2, 4, 5 ili 6."

Vjerojatnost unije se računa tako da zbrojimo vjerojatnosti svakog događaja posebno te od toga oduzmemo vjerojatnost njihovog presjeka.

Na primjer, za iste događaje kao gore, vjerojatnost bi računali kao: (vjerojatnost da je pao 5 ili 6) + (vjerojatnost da je pao paran broj) - (vjerojatnost da je pao broj 6).

\( P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B) \)

Poseban slučaj za računanje vjerojatnosti unije je kada se događaji isključuju, odnosno da događaji nemaju ništa zajedničko(ne mogu se dogoditi istovremeno). Tada se vjerojatnost računa tako da samo zbrojimo vjerojatnost prvog događaja s vjerojatnosti drugog događaja.

Na primjer, događaji koji se isključuju su "palo je broj 1 ili 2" te "pao je broj 3 ili 5".

\( P(A \cup B)=P(A)+P(B) \)

Geometrijska vjerojatnost

U nekim pokusima, recimo u geometriji, može se dogoditi da imamo beskonačno mnogo ishoda. Zato vjerojatnost ne možemo računati prebrojavanjem kao prije, nego ih računamo kao omjer izmjerenih veličina.

Konkretno, za duljinu, površinu ili volumen, vjerojatnost dobijemo tako da dijelimo onaj dio koji nas zanima s maksimalnim, sveukupnim iznosom.

\( P(A)=\frac{\text{duljina, površina ili volumen od interesa}}{\text{sveukupna duljina, površina ili volumen}} \)
Flowers
Matematika
pripreme za maturu