Vjerojatnost

Događaj je bilo koji podskup skupa elementarnih događaja.

Razlika između elementarnog događaja i događaja je u tome što elementarni događaj gleda samo jednu moguću vrijednost kako pokus može završiti, a događaj može gledati jedan ili više rezultata. Na primjer, ako je pokus izvlačenje karata iz špila, elementarni događaj je "izvukli smo kralja herc", a događaj bi mogao biti "izvukli smo bilo kojeg kralja"(tu dakle imamo 4 mogućnosti "izvukli smo kralja herc, tref, karo ili pik").

Flowers

Neka pokus ima konačno mnogo ishoda(elementarnih događaja). Vjerojatnost svakog ishoda je neki pozitivni broj. Ono što mora vrijediti je da je zbroj svih vjerojatnosti elementarnih događaja jednak 1.

Vjerojatnost događaja je zbroj vjerojatnosti elementarnih događaja od kojih je taj događaj sastavljen.

Vjerojatnosni prostor čine skup elementarnih događaja $\Omega$ i na njemu definirana vjerojatnost.

Flowers

Klasični vjerojatnosni prostor

Klasični vjerojatnosni prostor je vjerojatnosni prostor u kojem su svi ishodi jednako vjerojatni. Na primjer, bacanje novčića ili bacanje kockice.

Ako imamo $n$ mogućih ishoda, onda je vjerojatnost jednog ishoda jednaka $\frac{1}{n}$. Ako imamo događaj koji se sastoji od više ishoda, tada imamo donju formulu:

\( p(A)=\frac{k}{n} \)

Nezavisni događaji

Neki događaji jednostavno nisu povezani jedan s drugim, odnosno ishod jednog ne utječe na ishod drugog. Na primjer, događaji "sutra će padati kiša" i "na kocki će pasti broj 5".

Takve događaje zovemo nezavisni događaji.

Za nezavisne događaje vrijedi da je vjerojatnost da se dogode svi događaji(odnosno njihov presjek) jednaka umnošku vjerojatnosti svakog događaja posebno, što govori donja formula.

\( p(A \cap B)=p(A) \cdot p(B) \)
\( p(A \cap B \cap C)=p(A) \cdot p(B) \cdot p(C) \)

Bernoullijeva shema

Zamislimo da ponavljamo neki pokus $n$ puta. Taj pokus ima samo dva ishoda - može biti bilo što, uspjeh i neuspjeh, pismo i glava, ili nešto slično. Vjerojatnost prve opcije je $p$, a druge je onda $1-p$. Vjerojatnost da se prva opcija ponovi točno $k$ puta računa se Bernoullijevom shemom.

\( p(\text { točno k puta prva opcija })=\binom{n}{k} p^k(1-p)^{n-k}, 0 \leq k \leq n \)

Uvjetna vjerojatnost

Imamo dva događaja $A$ i $B$ tako da je događaj $B$ moguć, to jest vjerojatnost $P(B)>0$. Za takve događaje možemo računati uvjetnu vjerojatnost. Puni naziv je uvjetna vjerojatnost događaja A uz uvjet da se dogodio događaj B, a formula je dolje u dva oblika.

\( p(A \mid B)=\frac{p(A \cap B)}{p(B)} . \)
\( p(A \cap B)=p(B) \cdot p(A \mid B) \)

Vjerojatnosno stablo

Preko vjerojatnosnog stabla možemo računati vjerojatnosti i uvjetne vjerojatnosti. Dobro nam dođe kada imamo kompliciranije primjere, a osobito kod onih koji imaju zadane informacije po nekakvim koracima.

U prvom grananju stabla gledamo kolika je vjerojatnost da se dogodio neki od mogućih ishoda u prvom slučaju. Dalje, za svaki od tih slučajeva gledamo uvjetnu vjerojatnost da se dogodio novi događaj, uz uvjet da se dogodio ovaj prije njega u stablu. Tako nastavljamo dalje koliko treba.

Flowers

Formula potpune vjerojatnosti

Zamislimo da imamo neke događaje koji se svi međusobno isključuju, odnosno da se nikoja dva ne mogu dogoditi istovremeno. Nazovimo te događaje $H_1, H_2,..., H_n$. Isto tako, neka se prostor elementarnih događaja $\Omega$ može u potpunosti sastaviti od tih događaja tako da ništa ne fali. Drugim riječima, ti događaji u uniji daju cijeli $\Omega$, tj. prostor elementarnih događaja $\Omega$ se može podijeliti na naše događaje $H_1, H_2,..., H_n$.

Tada za bilo koji događaj $A$ vrijedi formula potpune vjerojatnosti.

\( p(A)=p\left(H_1\right) p\left(A \mid H_1\right)+p\left(H_2\right) p\left(A \mid H_2\right)+\ldots+p\left(H_n\right) p\left(A \mid H_n\right) \)
Flowers

Sada možemo doći do i Bayesove formule. Imamo dvije vrste, kraću i dužu. One su skroz iste, samo je u dužoj $P(A)$ zamijenjen s formulom potpune vjerojatnosti koju smo vidjeli gore.

\( P(B \mid A)=\frac{P(A \mid B) P(B)}{P(A)} \)
\( p\left(H_i \mid A\right)=\frac{p\left(H_i\right) p\left(A \mid H_i\right)}{p\left(H_1\right) p\left(A \mid H_1\right)+p\left(H_2\right) p\left(A \mid H_2\right)+. .+p\left(H_n\right) p\left(A \mid H_n\right)} \)
Matematika
pripreme za maturu