Tangens i kotangens

SŠ

Mat A

Napravimo pravac okomit na $x$-os koji prolazi kroz točku $(1,0)$. Neka je $T$ neka točka na brojevnoj kružnici. Povucimo pravac kroz ishodište koordinatnog sustava i kroz točku $T$ te pogledamo gdje se siječe s uspravnim pravcem s početka. Točka koja tako nastane ima koordinate $(1,\operatorname{tg}\alpha)$, gdje je $\alpha$ bio kut na brojevnoj kružnici. Drugim riječima, tangens kuta $\alpha,$ u oznaci $\operatorname{tg} \alpha$, je veličina do koje dođemo kada vidimo koliko smo se morali popesti ili spustiti na okomitom pravcu da bi došli do sjecišta.

Napravimo pravac okomit na $y$-os koji prolazi kroz točku $(0,1)$. Neka je $T$ neka točka na brojevnoj kružnici. Povucimo pravac kroz ishodište koordinatnog sustava i kroz točku $T$ te pogledamo gdje se siječe s vodoravnim pravcem s početka. Točka koja tako nastane ima koordinate $(\operatorname{ctg} \alpha ,1)$, gdje je $\alpha$ bio kut na brojevnoj kružnici. Drugim riječima, kotangens kuta $\alpha$, u oznaci $\operatorname{ctg} \alpha$, je veličina do koje dođemo kada vidimo koliko smo se pomaknuli lijevo ili desno na vodoravnom pravcu da bi došli do sjecišta.

Funckije tangens i kotangens mogu vratiti bilo koju vrijednost, ali nisu definirane za sve vrijednosti. Za sve vrijednosti $\alpha = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, gdje je $k$ bilo koji cijeli broj(pišemo $k \in \mathbb{Z}$), funkcija tangens nije definirana, tj. ne možemo ju izračunati. Slično, kontangens nije definiran za $\alpha = k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

Za tangens i kotangens vrijede sljedeće formule:

$ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $

$ \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $

$ \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha = 1 $

Predznaci funkcija tangens i kotangens su sljedeći:

1. kvadrant: tangens +, kotangnes +
2. kvadrant: tangens -, kotangnes -
3. kvadrant: tangens +, kotangnes +
4. kvadrant: tangens -, kotangnes -

Zadatci s državne mature: