Romb, paralelogram i trapez

SŠ

Mat A

Mat B

Paralelogram

Paralelogram je četverokut kojemu su nasuprotne stranice paralelne. To ujedno znači da su i pravokutnik i kvadrat paralelogrami.

- Nasuprotne stranice paralelograma jednakih su duljina.

- Dijagonale paralelograma raspolavljaju se. Nisu jednako dugačke.

- Nasuprotni kutevi paralelograma jednakih su veličina. Susjedni kutevi paralelograma u zbroju daju $180^{\circ}$. Zbroj svih unutarnjih kuteva je $360^{\circ}$.

$ P = a \cdot v_a = ab \cdot sin\alpha = \frac{1}{2}ef \cdot sin\varphi $

$ e^{2}+f^{2}=2\left(a^{2}+b^{2}\right) $

$ \sin\alpha = \cos\gamma = \frac{v}{b} \quad ; \quad \cos\alpha = \sin\gamma = \frac{v}{b} $

Romb

Romb je paralelogram kojemu su sve stranice jednake duljine.

- Kako je romb ujedno i paralelogram, za njega vrijede sva gornja svojstva.

- Dodatno, dijagonale se sijeku pod pravim kutem, pa su trokuti koji tako nastanu pravokutni, što znači da možemo koristiti Pitagoru i trigonometriju pravokutnog trokuta.

$ P = \frac{ef}{2} $

$ \sin\frac{\alpha}{2} = \cos\frac{\beta}{2} = \frac{e/2}{a} \quad ; \quad \cos\frac{\alpha}{2} = \sin\frac{\beta}{2} = \frac{f/2}{a} $

$ \left(\frac{e}{2}\right)^{2}+\left(\frac{f}{2}\right)^{2}=a^{2} $

Trapez

Trapez je četverokut s dvije usporedne nasuprotne stranice. One se nazivaju osnovice, a druge dvije stranice su krakovi. Udaljenost između dviju osnovica zove se visina.

- Zbroj kuteva uz krak trapeza je $180^{\circ}$. Zbroj svih unutarnjih kuteva trapeza je $360^{\circ}$.

- Posebna vrsta trapeza je takozvani jednakokračni trapez. Njegovi krakovi su jednakih duljina, a kutevi uz osnovice jednakih veličina.

- Drugi posebni slučaj je pravokutni trapez koji ima dva prava kuta uz jedan od krakova. Onda je taj krak ujedno i visina trapeza.

- Spuštanjem visina iz krajeva kraće osnovice, trapez dijelimo na pravokutnik i jedan ili dva pravokutna trokuta.

$ P = \frac{a+c}{2} \cdot v $

$ \sin\alpha = \cos\gamma = \frac{v}{b} \quad ; \quad \cos\alpha = \sin\gamma = \frac{x}{b} $

$ v^2 + x^2 = b^2 $

$ v^2 + (\frac{a-c}{2})^2 = b^2 $

Zadatci s državne mature: