Primjena derivacija

Tangenta i normala

Za neku derivabilnu funkciju $f$ možemo odrediti jednadžbu tangente u točki $T(x_0,y_0)$.

Izraz $f^{\prime}\left(x_{0}\right)$ znači da izračunamo derivaciju funkcije i onda u nju ubacimo broj $x_0$.

\( y-y_{0}=f^{\prime}\left(x_{0}\right) \cdot\left(x-x_{0}\right) \)

Normala je pravac okomit na tangentu, a prolazi kroz isto diralište. Imamo i formulu za jednadžbu normale, isto tako za funkciju $f$ i točku s koordinatama $T(x_0, y_0)$.

\( y-y_0=-\frac{1}{f^{\prime}\left(x_0\right)}\left(x-x_0\right) \)
Flowers

Monotonost funkcije

Kada govorimo o monotonosti funkcije, zapravo mislimo raste li ili pada funkcija na nekom dijelu. To možemo povezati s derivacijom funkcije tako da na određenom intervalu, gledamo je li derivacija veća ili jednaka, odnosno manja ili jednaka nuli.

\( f^{\prime}(x) >0 \rightarrow \text{raste} \)
\( f^{\prime}(x) < 0 \rightarrow \text{pada} \)

Stacionarne točke i ekstremi

Stacionarna točka funkcije je točka u kojoj je derivacija funkcije jednaka nuli.

Ako funkcija raste prije nego što dođe do neke točke $x_1$ i poslije nje odmah krene padati, tada je $x_1$ točka lokalnog maksimuma. Lokalni maksimum je vrijednost funkcije u toj točki, odnosno $y_1 = f(x_1)$.

U drugom slučaju, ako funkcija pada prije nego što dođe do neke točke $x_2$ i poslije nje odmah krene rasti, tada je $x_2$ točka lokalnog minimuma. Lokalni minimum je vrijednost funkcije u toj točki, odnosno $y_2 = f(x_2)$.

Zajedno minimum i maksimum zovemo lokalnim ekstremima funkcije, a postižu se u točkama lokalnih ekstrema.

Lokalni ekstremi, ako postoje, mogu se postići samo u stacionarnim točkama funkcije.

Flowers

Još jedan način kako možemo odrediti lokalne ekstreme funkcije je gledajući predznake derivacije funkcije. Neka je točka $x_0$ stacionarna točka naše funkcije $f$.

  • Ako derivacija $f^{\prime}$ mijenja predznak u točki $x_0$ iz plus u minus, to je lokalni maksimum.
  • Ako derivacija $f^{\prime}$ mijenja predznak u točki $x_0$ iz minus u plus, to je lokalni minimum.

Konveksnost i konkavnost

Funkcija je konveksna na nekom intervalu ako je njen graf iznad tangente u bilo kojoj točki iz tog intervala.

Konkavna je ako je njen graf ispod tangente u bilo kojoj točki intervala.

Lakše pamtimo: konkavna je ako u nju ne možemo uliti kavu, ako možemo onda je konveksna. :)

Točka u kojoj se događa prijelaz iz konveksnosti u konkavnost ili obrnuto je točka infleksije(pregiba).

Flowers

Derivacija drugog reda(druga derivacija) funkcije je derivacija prve derivacije. Dakle, kada napravimo derivaciju funkcije, dobijemo prvu derivaciju. Ako taj rezultat ponovno deriviramo, dobijemo drugu derivaciju.

Preko druge derivacije određujemo konveksnost i konkavnost funkcije. Na određenom intervalu gledamo je li druga derivacija veća, manja ili jednaka nuli.

\( f^{\prime \prime }(x) > 0 \rightarrow \text{konveksna} \)
\( f^{\prime \prime }(x) < 0 \rightarrow \text{konkavna} \)

Ako je pak $f^{\prime \prime}\left(x_0\right)=0$ za neku točku $x_0$ i $f^{\prime \prime}$ mijenja predznak u točki $x_0$ onda je $x_0$, točka pregiba.

Matematika
pripreme za maturu