Funkcije

Pojam funkcije

Mat A
Mat B
Funkcija je pridruživanje, preslikavanje elemenata iz jednog skupa u drugi. Bitno je da svakom elementu prvog skupa pridružimo točno jedan element drugog skupa - inače nije funkcija.
Funkciju također možemo zamisliti i kao "crnu kutiju" u koju nešto ubacimo, a onda nam ona po nekom pravilu izbaci nešto van.
Funkciju označavamo s $f: D \rightarrow K$, gdje je $f$ ime same funkcije, $D$ onaj prvi skup iz kojeg uzimamo elemente, a $K$ je skup gdje se nalaze sve moguće vrijednosti koje funkcija može vratiti.
Skup $D$ se zove domena(područje definicije), a $K$ je kodomena(područje vrijednosti). Elemente domene, što je najčešće naš $x$, zovemo argument(nezavisna varijabla) funkcije, a elemente kodomene $y$ vrijednosti(zavisne varijable) funkcije.
Slika funkcije je skup svih mogućih vrijednosti koje funkcija moe poprimiti. Ne mora nužno biti isto što i kodomena. Kodomena može sadržavati još neke elemente koje funkcija nikad neće pogoditi. Oznaka za sliku je $Im$.
 Domena i kodomena funkcije
 Domena i kodomena funkcije
Injekcija, surjekcija i bijekcija
Funkcija je injekcija ako se svaki $x$ preslika u svoj, drugačiji $y$ tj. ako ne postoje dva $x$-a za koja će funkcija izbaciti istu vrijednost. Injektivnost se provjerava horizontalnim testom. Slično kao i vertikalni test, ako vodoravni pravac sijeće funkciju u dvije ili više točke, nije injekcija, a u suprotnom jest.
 Injekcija
 Injekcija
Funkcija je surjekcija ako je slika funkcije jednaka kodomeni funkcije. Drugim riječima, ako je svaki element kodomene pogođen.
Funkcija je bijekcija ako je injekcija i surjekcija.
Domena i slika funkcije
Pogledajmo kako se određuju domena i slika funkcije ako ju imamo nacrtano u koordinatnom sustavu.
Domenu gledamo na $x$-osi, odnosno koji su to sve $x$-evi koji će davati neku vrijednost funckije. Npr. logaritamska funkcija na prvoj slici, ne izbacuje nikakvu vrijednost za $x=-1$ jer iznad tog $x$-a nema ničega. Ali recimo za $x=2$, vidimo da je iznad njega točno jedna točka pa je on u domeni.
Sliku određujemo na isti način, samo gledamo po $y$-osi. Dakle pitamo se, koji su to sve $y$-oni koje funckija može postići? Zamislimo si kao da spljoštimo graf na $y$-os i pogledamo što je sve taj graf pogodio. To će nam upravo biti slika. Za domenu smo mogli razmišljati na isti način, samo bi graf morali spljoštiti na $x$-os.
 Domena i slika funkcije
 Domena i slika funkcije
Vrijednost funkcije
Kada želimo izračunati vrijednost neke funkcije u nekoj točki $x$, sve što trebamo napraviti je zamijeniti svako pojavljivanje varijable $x$ u funkciji s brojem koji mu je pridružen. Izraz koji dobijemo bi trebao imati samo brojeve, njega izračunamo i rezultat će biti ono što zovemo vrijednost funkcije.
 Vrijednost funkcije
 Vrijednost funkcije
Kompozicija funkcija
Kompozicija funkcija je operacija među funkcijama koja označava djelovanje jedne funkcije na drugu. Preciznije, jedna funkcija djeluje normlano, kao što smo navikli, na argument $x$, a druga funkcija djeluje na rezultat koji izbaci prva funkcija za taj $x$.
Za funkcije $f$ i $g$, kompozicija funkcija $f$ i $g$ se označava s $g \circ f$.
Kompoziciju možemo računati na dva načina. Prvi je da izračunamo kako izgleda baš funkcija koja je nastala kao kompozicija, a onda uvrstimo broj koji nas zanima. U drugom načinu prvo izračunamo vrijednost unutarnje funkcije u broju koji je zadan, a onda za dobivenu vrijednost izračunamo vrijednost druge, vanjske funckije.
 Kompozicija funkcija
 Kompozicija funkcija
 Kompozicija funkcija
 Kompozicija funkcija
Zadatci s državne mature:

Pojam funkcije

Srednja škola
Matematika A
Matematika B

Svi videi su dostupni samo plaćenim korisnicima.

Svakom tko kupi neki od naših proizvoda videi će se automatski prikazati i u našim online skriptama.

Svi videi su dostupni samo plaćenim korisnicima.

Svakom tko kupi neki od naših proizvoda videi će se automatski prikazati i u našim online skriptama.

Svi videi su dostupni samo plaćenim korisnicima.

Svakom tko kupi neki od naših proizvoda videi će se automatski prikazati i u našim online skriptama.