Harmonijsko titranje tijela na opruzi i matematičkog njihala

Harmonijsko titranje

Gibanje tijela koje se periodički ponavlja i možemo ga opisati funkcijom sinus zovemo harmonijskim titranjem. Takvo gibanje karakterizira vrijeme koje je potrebno tijelu da napravi jedan titraj, odnosno da se vrati u položaj i stanje iz kojeg je počelo titrati. To vrijeme zovemo periodom titranja $T$, a broj titraja u jedinici vremena zovemo frekvencija $f$.

Položaj u kojemu bi se tijelo koje titra nalazilo kada bismo ga zaustavili i umirili zove se razvnotežni položaj. Svaka udaljenost od ravnotežnog položaja naziva se elongacija, a najveći odmak od ravnotežnog položaja do kojeg se tijelo pomakne zovemo amplitudom titranja $A$.

Titranje možemo matematički opisati sinus funkcijom ovisnosti položaja $x$ o proteklom vremenu $t$:

Veličina $\varphi_0$ predstavlja početni fazni pomak, tj. pomoću nje definiramo iz kojeg je položaja tijelo počelo titrati. Kada tijelo prolazi ravnotežnim položajem, njegova je brzina maksimalna, a u položajima amplitude se na trenutak zaustavlja pa mu je brzina u tom trenutku jednaka nuli. To znači da se mjesta gdje je brzina najveća podudaraju s mjestima gdje je odmak od ravnotežnog položaja jednak nuli i obrnuto. To znači da brzinu u ovisnosti o vremenu možemo opisati:

Najveća brzina koju tijelo koje titra postiže iznosi:

Za harmonijsko titranje tijela potrebna je harmonijska povratna sila koja nastoji vratiti tijelo u položaj ravnoteže. Ako na tijelo djeluje neka rezultantna sila, onda to tijelo ima akceleraciju. Akceleracija se također mijenja u vremenu i iznosi:

Minus u ovoj formuli znači samo da je smjer akceleracije uvijek prema ravnotežnom položaju, što je suprotno od smjera pomaka čestice koja titra. Najveći iznos akceleracije postiže se u položaju amplitude i on je jednak:

Na grafu možemo vidjeti ovisnosti brzine i akceleracije o vremenu. Vidimo da je akceleracija maksimalna u trenutku kada je brzina jednaka nuli (amplituda) i obrnuto (ravnoteža).

Titranje tijela na elastičnoj opruzi

Jedan od primjera tijela koje harmonijski titra je tijelo određene mase $m$ ovješeno na oprugu konstante elastičnosti $k$.

Neopterećena opruga ima određenu duljinu koju možemo označiti s $l_0$. Kada na nju ovjesimo uteg određene mase, ona će se produljiti za iznos $\Delta l$. Ako tijelo miruje na opruzi ukupna sila na njega je jednaka nuli, tj. elastična sila je po iznosu jednaka gravitacijskoj sili, a po smjeru suprotna.

Ako tijelo izvučemo iz položaja ravnoteže (stegnemo ili rastegnemo oprugu) i pustimo, ono će harmonijski titrati stalnim periodom. Period titranja tijela na elastičnoj opruzi ovisi o konstanti elastičnosti i o masi tijela:

Energija titranja tijela na elastičnoj opruzi

S obzirom na to da tijelo titra na elastičnoj opruzi, ukupnoj energiji ovog sustava doprinose kinetička energija tijela i elastična potencijalna energija opruge:

Kada tijelo prolazi ravnotežnim položajem njegova je elongacija jednaka nuli pa samim time i elastična potencijalna energija iznosi nula. U tom je položaju ukupna energija jednaka kinetičkoj energiji maksimalnog iznosa. U položaju amplitude tijelo se zaustavlja i kinetička mu je energija jednaka nuli, a sva energija sustava je u elastičnoj potencijalnoj energiji maksimalnog iznosa.

Maksimalne vrijednosti kinetičke i elastične potencijalne energije možemo izračunati po formulama:

Graf prikazuje ovisnost energija o odmaku od ravnotežnog položaja. Možemo vidjeti da je ukupna energija tokom titranja očuvana, tj. ima konstantan iznos, a mijenjaju se iznosi pojedine energije (kinetičke i elastične potencijalne).

Matematičko njihalo

Matematičko njihalo se sastoji od tijela mase $m$ ovješenog o nerastezljivu nit duljine $l$. Sile koje djeluju na tijelo ovješeno o nit su sila napetosti i sila teža.

Ako njihalo otklonimo iz položaja ravnoteže, sila teža se rastavlja na komponente od kojih jedna ima ulogu povratne sile koja želi vratiti njihalo u položaj ravnoteže. To njihalo harmonijski titra periodom koji ovisi o gravitacijskom ubrzanju sile teže $g$ i o duljini niti njihala $l$:

Energije matematičkog njihala

Masa koja titra ovješena o nit matematičkog njihala ima brzinu čiji se iznos mijenja u vremenu te kao kod svakog harmonijskog titranja mijenja svoj položaj u vremenu. Ukupna energija ovog sustava sastoji se od potencijalne (gravitacijske) i kinetičke energije.

U položaju amplitude, tijelo ima kinetičku energiju koja je jednaka nuli i ukupna energija je jednaka gravitacijskoj potencijalnoj energiji zbog toga što se tijelo nalazi na određenoj visini u odnosu na ravnotežni položaj. Kada tijelo prolazi ravnotežnim položajem, njegova je brzina maksimalna, a visina jednaka nuli te ono ima maksimalnu kinetičku energiju.