Gibanje tijela koje se periodički ponavlja i možemo ga opisati funkcijom sinus zovemo
Položaj u kojemu bi se tijelo koje titra nalazilo kada bismo ga zaustavili i umirili zove se
Titranje možemo matematički opisati sinus funkcijom ovisnosti položaja o proteklom vremenu :
Veličina predstavlja početni fazni pomak, tj. pomoću nje definiramo iz kojeg je položaja tijelo počelo titrati. Kada tijelo prolazi ravnotežnim položajem, njegova je brzina maksimalna, a u položajima amplitude se na trenutak zaustavlja pa mu je brzina u tom trenutku jednaka nuli. To znači da se mjesta gdje je brzina najveća podudaraju s mjestima gdje je odmak od ravnotežnog položaja jednak nuli i obrnuto. To znači da brzinu u ovisnosti o vremenu možemo opisati:
Najveća brzina koju tijelo koje titra postiže iznosi:
Za harmonijsko titranje tijela potrebna je harmonijska povratna sila koja nastoji vratiti tijelo u položaj ravnoteže. Ako na tijelo djeluje neka rezultantna sila, onda to tijelo ima akceleraciju. Akceleracija se također mijenja u vremenu i iznosi:
Minus u ovoj formuli znači samo da je smjer akceleracije uvijek prema ravnotežnom položaju, što je suprotno od smjera pomaka čestice koja titra. Najveći iznos akceleracije postiže se u položaju amplitude i on je jednak:
Na grafu možemo vidjeti ovisnosti brzine i akceleracije o vremenu. Vidimo da je akceleracija maksimalna u trenutku kada je brzina jednaka nuli (amplituda) i obrnuto (ravnoteža).
Jedan od primjera tijela koje harmonijski titra je tijelo određene mase ovješeno na oprugu konstante elastičnosti .
Neopterećena opruga ima određenu duljinu koju možemo označiti s . Kada na nju ovjesimo uteg određene mase, ona će se produljiti za iznos . Ako tijelo miruje na opruzi ukupna sila na njega je jednaka nuli, tj. elastična sila je po iznosu jednaka gravitacijskoj sili, a po smjeru suprotna.
Ako tijelo izvučemo iz položaja ravnoteže (stegnemo ili rastegnemo oprugu) i pustimo, ono će harmonijski titrati stalnim periodom. Period titranja tijela na elastičnoj opruzi ovisi o konstanti elastičnosti i o masi tijela:
S obzirom na to da tijelo titra na elastičnoj opruzi, ukupnoj energiji ovog sustava doprinose kinetička energija tijela i elastična potencijalna energija opruge:
Kada tijelo prolazi ravnotežnim položajem njegova je elongacija jednaka nuli pa samim time i elastična potencijalna energija iznosi nula. U tom je položaju ukupna energija jednaka kinetičkoj energiji maksimalnog iznosa. U položaju amplitude tijelo se zaustavlja i kinetička mu je energija jednaka nuli, a sva energija sustava je u elastičnoj potencijalnoj energiji maksimalnog iznosa.
Maksimalne vrijednosti kinetičke i elastične potencijalne energije možemo izračunati po formulama:
Graf prikazuje ovisnost energija o odmaku od ravnotežnog položaja. Možemo vidjeti da je ukupna energija tokom titranja očuvana, tj. ima konstantan iznos, a mijenjaju se iznosi pojedine energije (kinetičke i elastične potencijalne).
Matematičko njihalo se sastoji od tijela mase ovješenog o nerastezljivu nit duljine . Sile koje djeluju na tijelo ovješeno o nit su sila napetosti i sila teža.
Ako njihalo otklonimo iz položaja ravnoteže, sila teža se rastavlja na komponente od kojih jedna ima ulogu povratne sile koja želi vratiti njihalo u položaj ravnoteže. To njihalo harmonijski titra periodom koji ovisi o gravitacijskom ubrzanju sile teže i o duljini niti njihala :
Masa koja titra ovješena o nit matematičkog njihala ima brzinu čiji se iznos mijenja u vremenu te kao kod svakog harmonijskog titranja mijenja svoj položaj u vremenu. Ukupna energija ovog sustava sastoji se od potencijalne (gravitacijske) i kinetičke energije.
U položaju amplitude, tijelo ima kinetičku energiju koja je jednaka nuli i ukupna energija je jednaka gravitacijskoj potencijalnoj energiji zbog toga što se tijelo nalazi na određenoj visini u odnosu na ravnotežni položaj. Kada tijelo prolazi ravnotežnim položajem, njegova je brzina maksimalna, a visina jednaka nuli te ono ima maksimalnu kinetičku energiju.
Isprobaj potpuno besplatno!
Registracijom dobivaš besplatan*
pristup dijelu lekcija za svaki predmet.