Kvadratna jednadžba

SŠ

Mat A

Mat B

Kvadratna jednadžba

Kvadratna jednadžba je bilo koja jednadžba oblika $ax^2 + bx + c = 0$, gdje su $a$, $b$ i $c$ neki realni brojevi i $a \neq 0$.

Brojeve $a$, $b$ i $c$ zovemo koeficijenti kvadratne jednadžbe. Redom, njihova imena su još vodeći, linearni i slobodni koeficijent.

Rješenja kvadratne jednadžbe

Za dobivanje rješenja kvadratne jednadžbe koristimo kalkulator ili formulu:

$ x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} $

Ako su nam poznata rješenja kvadratne jednadžbe, pripadnu kvadratnu funkciju možemo zapisati i u drugom obliku:

$ f(x) = ax^2 + bx + c = a(x-x_{1})(x-x_{2}) $

Diskriminanta kvadratne jednadžbe

Diskriminanta je broj $D$ kojeg računamo formulom:

$ D=b^{2}-4 a c $

Diskriminanta utječe na broj i vrstu rješenja kvadratne jednadžbe. Imamo 3 slučaja:

$D>0$ $\implies $ dva različita rješenja koja su realni brojevi
$D=0$ $\implies$ jedno dvostruko rješenje, realan broj
$D<0$ $\implies$ dva različita rješenja, kompleksno konjugirani brojevi

Vietove formule

Ako sa $x_1$ i $x_2$ označimo rješenja kvadratne jednadžbe, a $a$, $b$ i $c$ su koeficijenti kvadratne jednadžbe kao prije, onda vrijedi:

$ x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a} \quad ; \quad x_{1} \cdot x_{2}=\frac{c}{a} $

Bikvadratna jednadžba

Bikvadratna jednadžba je jednadžba oblika $ax^4 + bx^2 + c = 0$, gdje su $a$, $b$ i $c$ realni brojevi.

Rješavamo ju supstitucijom (zamjenom) $t = x^2$. Time dobivamo kvadratnu jednadžbu $at^2 + bt + c = 0$ kojoj znamo izračunati rješanja. Nakon što dobijemo $t_1$ i $t_2$, do rješenja početne jednadžbe dolazimo iz jednadžbi $x^2 = t_1$ i $x^2 = t_2$. Bikvadratna jednadžba može imati nula, dva ili četiri rješenja.

Zadatci s državne mature: