Kružnice u koordinatnom sustavu

SŠ

Mat A

Na prošloj stranici smo već rekli kako izgledaju jednadžbe kružnica sa središtem u $S(p,q)$ i sa središtem u ishodištu $S(0,0)$ radijusa $r$. Evo jednadžbi još jednom.

$ (x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2} $

$ x^{2}+y^{2}=r^{2} $

Koncentrične kružnice

Koncentrične kružnice su kružnice s istim središtem, ali različitim polumjerima.

Kružnica kroz tri točke

Ako su imamo tri točke u koordinatnom sustavu, postoji točno jedna kružnica koja prolazi kroz sve njih. Do njene jednadžbe ćemo doći tako da u opću jednadžbu kružnice(prva formula na stranici) ubacimo umjesto $x$ i $y$ koordinate zadanih točaka.

Na taj način dobijemo sustav tri jednadžbe s tri nepoznanice. Uvijek ga lagano možemo pojednostaviti tako da dva puta oduzmemo po dvije jednadžbe. Npr. od prve jednadžbe prvo oduzmemo drugu, a zatim i treću jednadžbu. To se radi tako da se lijeve strane oba dvije jednadžbe oduzmu, a onda i desne. Na ovaj način dobijemo dvije jednadžbe s dvije nepoznanice od kuda ćemo dobiti $p$ i $q$, a $r$ dobijemo kada u bilo koju jednadžbu ubacimo upravo izračunate $p$ i $q$.

Kružnica i pravac

Kružnica i pravac mogu se sijeći u dvije točke, dirati se u jednoj točki ili uopće ne sijeći.

Do sjecišta kružnice i pravca(ako ih imamo) dolazimo rješavanjem sustava jednadžbi koji čine jednadžba kružnice i jednadžba pravca.

Uvjet dodira pravca i kružnice. Pravac $y=kx+l$ dira kružnicu $(x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2}$ ako vrijed

$ r^{2}\left(1+k^{2}\right)=(q-k p-l)^{2} $

Tangenta na kružnicu. Jednadžba tangente u točki $T(x_0,y_0)$ na kružnicu je

$ \left(x_{0}-p\right)(x-p)+\left(y_{0}-q\right)(y-q)=r^{2} $

Normala na kružnicu. Jednadžba normale u točki $T(x_0,y_0)$ na kružnicu je

$ y-q=\frac{y_{0}-q}{x_{}-p}(x-p) $

Kut pod kojim pravac siječe kružnicu. Taj kut je kut između pravca i tangente na kružnicu u točki presjeka. Za koeficijent smjera pravca $k_1$ i koeficijent smjera tangente $k_2$ vrijedi da se kut $\alpha$ između pravca i kružnice računa kao

$ \operatorname{tg} \alpha=\left|\frac{k_{1}-k_{2}}{1+k_{1} k_{2}}\right| $

Kut pod kojim se kružnice sijeku. Kut između dvije tangente u točki presjeka tih dviju kružnica.

Zadatci s državne mature: