Kompleksni brojevi i Gaussova ravnina
U definiciji kompleksnog broja, $x$ i $y$ su obični, realni brojevi, a $i$ je i dalje imaginarna jedinica. Broj $x$ zovemo realni dio kompleksnog broja $z$, a $y$ je imaginarni dio. Oprez! Imaginarna jedinica $i$ nije dio imaginarnog dijela kompleksnog broja $z$.
Oznake su
Dva kompleksna broja su jednaka ako su im jednaki i realni dijelovi i imaginarni dijelovi.
Potencije imaginarne jedinice
Računanje s kompleksnim brojevima
Uzmimo kompleksne brojeve $w=x_{1}+y_{1} i \text { i } w=x_{2}+y_{2} i$ i pokažimo kako se oni zbrajaju, oduzimaju, množe i dijele
Dijeljenje je malo drugačije. Zapišimo dijeljenje u obliku razlomka i slijedimo korake.
1. Da bi podijelili dva kompleksna broja, prvo se moramo riješiti imaginarne jedinice iz nazivnika. To radimo tako da zadani razlomak pomnožimo razlomkom koji i u brojniku i u nazivniku ima konjugirano kompleksni broj kompleksnog broja koji je kod nas u nazivniku.
2. Gore napravimo množenje kao što znamo, a dolje isto pomnožimo zagrade ili iskoristimo formulu za množenje kompleksno konjugiranih brojeva(nalazi se malo niže).
3. Sredimo što se da srediti.
Konjugirano kompleksni brojevi
Za kompleksni broj $z = x +yi$, kažemo da je $\overline{z}$ kompleksno konjugirani broj broja $z$ ako je $\overline{z} = x-yi$.
Umnožak kompleksno konjugiranih brojeva $z$ i $\overline{z}$ je
Modul kompleksnog broja
Kompleksna ravnina
Kompleksna(Gaussova) ravnina nam služi za prikazivanje kompleksnih brojeva u ravnini. Izgleda isto kao i obični koordinatni sustav, samo sada na $x$-osi označavamo realni dio kompleksnog broja, a na $y$-osi imaginarni. Kompleksne brojeve(točke) ćemo raditi upravo po tom principu: broj $z=x+yi$ će odgovarati točki s koordinatama $(x,y)$.
Gore spomenuti modul će biti udaljenost točke od ishodišta. Ako želimo izračunati udaljenost dva kompleksna broja u ravnini, prvo ćemo ih oduzeti, a zatim izračunati modul dobivenog rezultata.