Kompleksni brojevi
Kompleksni brojevi i Gaussova ravnina
Imaginarna jedinica, oznake $i$, je broj za koji vrijedi
\( i^2 = -1 \)
Imaginarni broj je broj oblika $yi$ za neki realni broj $y$.
Kompleksni broj $z$ je broj oblika
Kompleksni broj $z$ je broj oblika
\( z = x + yi \)
U definiciji kompleksnog broja, $x$ i $y$ su obični, realni brojevi, a $i$ je i dalje imaginarna jedinica. Broj $x$ zovemo realni dio kompleksnog broja $z$, a $y$ je imaginarni dio. Oprez! Imaginarna jedinica $i$ nije dio imaginarnog dijela kompleksnog broja $z$.
Oznake su
Oznake su
\( x = \text{Re}z \quad \text{i} \quad y = \text{Im}z \)
Dva kompleksna broja su jednaka ako su im jednaki i realni dijelovi i imaginarni dijelovi.
\( z=w \text{ ako je} \; \text{Re} z=\text{Re} w \; \text { i } \; \text{Im} z=\text{Im} w \)
Potencije imaginarne jedinice
Računanje s kompleksnim brojevima
Uzmimo kompleksne brojeve $w=x_{1}+y_{1} i \text { i } w=x_{2}+y_{2} i$ i pokažimo kako se oni zbrajaju, oduzimaju, množe i dijele.
\( z+w=x_{1}+x_{2}+\left(y_{1}+y_{2}\right) i \)
\( z-w=x_{1}-x_{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right) i \)
\( z \cdot w=(x_1+y_1 i)(x_2 + y_2 i) = x_{1} \cdot x_{2}-y_{1} \cdot y_{2}+\left(x_{1} y_{2}+x_{2} y_{1}\right) i \)
Dijeljenje je malo drugačije. Zapišimo dijeljenje u obliku razlomka i slijedimo korake.
1. Da bi podijelili dva kompleksna broja, prvo se moramo riješiti imaginarne jedinice iz nazivnika. To radimo tako da zadani razlomak pomnožimo razlomkom koji i u brojniku i u nazivniku ima konjugirano kompleksni broj kompleksnog broja koji je kod nas u nazivniku.
2. Gore napravimo množenje kao što znamo, a dolje isto pomnožimo zagrade ili iskoristimo formulu za množenje kompleksno konjugiranih brojeva(nalazi se malo niže).
3. Sredimo što se da srediti.
1. Da bi podijelili dva kompleksna broja, prvo se moramo riješiti imaginarne jedinice iz nazivnika. To radimo tako da zadani razlomak pomnožimo razlomkom koji i u brojniku i u nazivniku ima konjugirano kompleksni broj kompleksnog broja koji je kod nas u nazivniku.
2. Gore napravimo množenje kao što znamo, a dolje isto pomnožimo zagrade ili iskoristimo formulu za množenje kompleksno konjugiranih brojeva(nalazi se malo niže).
3. Sredimo što se da srediti.
Konjugirano kompleksni brojevi
Za kompleksni broj $z = x +yi$, kažemo da je $\overline{z}$ kompleksno konjugirani broj broja $z$ ako je $\overline{z} = x-yi$.
Umnožak kompleksno konjugiranih brojeva $z$ i $\overline{z}$ je
Umnožak kompleksno konjugiranih brojeva $z$ i $\overline{z}$ je
\( z \cdot \overline{z} = (x+yi)(x-yi) = x^2+y^2 \)
Modul kompleksnog broja
Modul kompleksnog broja $z = x+yi$, oznake $|z|$, je obični, realni broj koji računamo formulom
\( |z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \)
Kompleksna ravnina
Kompleksna(Gaussova) ravnina nam služi za prikazivanje kompleksnih brojeva u ravnini. Izgleda isto kao i obični koordinatni sustav, samo sada na $x$-osi označavamo realni dio kompleksnog broja, a na $y$-osi imaginarni. Kompleksne brojeve(točke) ćemo raditi upravo po tom principu: broj $z=x+yi$ će odgovarati točki s koordinatama $(x,y)$.
Gore spomenuti modul će biti udaljenost točke od ishodišta. Ako želimo izračunati udaljenost dva kompleksna broja u ravnini, prvo ćemo ih oduzeti, a zatim izračunati modul dobivenog rezultata.
Gore spomenuti modul će biti udaljenost točke od ishodišta. Ako želimo izračunati udaljenost dva kompleksna broja u ravnini, prvo ćemo ih oduzeti, a zatim izračunati modul dobivenog rezultata.
Kviz za maturu
Riješi kratak kviz i saznaj jesi li spreman za maturu!
Izabrali smo ti 10-ak pitanja kroz koje možeš vidjeti jesi li spreman za ovogodišnju maturu.
Zadatci s državne mature:
Kompleksni brojevi i Gaussova ravnina
Matematika A
Pripreme za maturu