Kompleksni brojevi

Imaginarna jedinica, oznake $i$, je broj za koji vrijedi

$ i^2 = -1 $

Imaginarni broj je broj oblika $yi$ za neki realni broj $y$.

Kompleksni broj $z$ je broj oblika

$ z = x + yi $

U definiciji kompleksnog broja, $x$ i $y$ su obični, realni brojevi, a $i$ je i dalje imaginarna jedinica. Broj $x$ zovemo realni dio kompleksnog broja $z$, a $y$ je imaginarni dio. Oprez! Imaginarna jedinica $i$ nije dio imaginarnog dijela kompleksnog broja $z$.

Oznake su

$ x = \text{Re}z \quad \text{i} \quad y = \text{Im}z $

Dva kompleksna broja su jednaka ako su im jednaki i realni dijelovi i imaginarni dijelovi.

$ z=w \text{ ako je} \; \text{Re} z=\text{Re} w \; \text { i } \; \text{Im} z=\text{Im} w $

Potencije imaginarne jedinice

Računanje s kompleksnim brojevima

Uzmimo kompleksne brojeve $w=a+b i \text { i } w=c+d i$ i pokažimo kako se oni zbrajaju, oduzimaju, množe i dijele.

$ z+w=x_{1}+x_{2}+\left(y_{1}+y_{2}\right) i $

$ z-w=x_{1}-x_{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right) i $

$ z \cdot w=(a+b i)(c + d i) = a \cdot c-b \cdot d+\left(a d+cb\right) i $

Dijeljenje je malo drugačije. Zapišimo dijeljenje u obliku razlomka i slijedimo korake.

1. Da bi podijelili dva kompleksna broja, prvo se moramo riješiti imaginarne jedinice iz nazivnika. To radimo tako da zadani razlomak pomnožimo razlomkom koji i u brojniku i u nazivniku ima konjugirano kompleksni broj kompleksnog broja koji je kod nas u nazivniku.

2. Gore napravimo množenje kao što znamo, a dolje isto pomnožimo zagrade ili iskoristimo formulu za množenje kompleksno konjugiranih brojeva(nalazi se malo niže).

3. Sredimo što se da srediti.