Hiperbola

Hiperbola je skup točaka u ravnini za koje je razlika udaljenosti od dvije fiksne točke uvijek ista.

Fiksne točke i dalje nazivamo žarištima(fokusima). Označavamo ih $F_1$ i $F_2$. Njihovo polovište je središte hiperbole $O$.

Ako kroz fokuse hiperbole povučemo pravac(koji se zove žarišna(realna) os), hiperbolu siječemo u dvije točke $A$ i $B$ koje su dva tjemena hiperbole.

Flowers

Duljinu od središta $O$ do tjemena $A$ ili $B$ zovemo realna poluos a. Udaljenost od središta do fokusa $F_1$ ili $F_2$ je linearni ekscentricitet $e$. Imaginarna poluos $b$ je udaljenost $\sqrt{e^2-a^2}$. Točke $C$ i $D$ koje su od središta udaljene za taj $b$, okomito na realnu os, zovemo imaginarnim tjemenima, a $\overline{C D}$ je imaginarna os.

Drugim riječima, $a$ je udaljenost od središta do lijevog ili desnog početka hiperbole, $b$ je od središta do gornjeg ili donjeg imaginarnog tjemena, a $e$ je udaljenost od središta do bilo kojeg žarišta.

\( $e^2=a^2+b^2$ \)
Flowers

Jednadžba hiperbole

Imamo dva oblika za jednadžbu hiperbole. Prvi se zove osna(kanonska) jednadžba, a drugi je standardna jednadžba. Iz jedne u drugu jednadžbu dolazimo tako da sve pomnožimo, odnosno podijelimo s $a^2 b^2$.

\( $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ \)
\( $b^2 x^2-a^2 y^2=a^2 b^2$ \)

Asimptote su pravci kojima se neka krivulja sve više približava, ali ju nikada ne dotakne. Kod hiperbole su to pravci koji prolaze dijagonalama "nevidljivog" pravokutnika u sredini hiperbole. Imamo dvije asimptote, a njihove jednostavne jednadžbe pišu dolje.

\( $y=\pm \frac{b}{a} x$ \)
Flowers

Numerički ekscentricitet hiperbole mjeri izduženost hiperbole. Označava se s $\varepsilon$, uvijek je veći od $1$, a računa se po donjoj formuli.

\( $\varepsilon= \frac{e}{a}$ \)

Hiperbola i pravac

Za hiperbolu s jednadžbom $b^2 x^2-a^2 y^2=a^2 b^2$ i pravac s jednadžbom $y=kx+l$, imamo dvije formule.

Prva je uvjet dodira hiperbole i pravca: to mora biti zadovoljeno ako želimo da pravac samo dira hiperbolu, odnosno da joj bude tangenta.

Druga formula daje jednadžbu tangente kada imamo neku točku na hiperboli. Točka ima koordinate $(x_0, y_0)$.

\( $a^2 k^2-b^2=l^2$ \)
\( $b^2 \cdot x_0 \cdot x-a^2 \cdot y_0 \cdot y=a^2 \cdot b^2$ \)
Matematika
pripreme za maturu