Trigonometrijske funckije

Grafovi funkcija sinus i kosinus

Mat A
Svojstva funkcije sinus

1. Funkcija sinus postiže vrijednosti na intervalu $[-1,1]$.
2. Nultočke funkcije su brojevi $k \pi, k \in \mathbf{Z}$.
3. Maksimalna vrijednost funckije se poprima za $x=\frac{\pi}{2}+2k\pi, k \in \mathbf{Z}$, a iznosi $1$.
4. Minimalna vrijednost funckije se poprima za $x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi, k \in \mathbf{Z}$, a iznosi $-1$.
5. Period je $2\pi$.
Svojstva funkcije kosinus

1. Funkcija kosinus postiže vrijednosti na intervalu $[-1,1]$.
2. Nultočke funkcije su brojevi $\frac{\pi}{2} + k \pi , k \in \mathbf{Z}$.
3. Maksimalna vrijednost funckije se poprima za $x=2k \pi, k \in \mathbf{Z}$, a iznosi $1$.
4. Minimalna vrijednost funckije se poprima za $x=(2k+1) \pi, k \in \mathbf{Z}$, a iznosi $-1$.
5. Period je $2\pi$.
Graf funkcije sinus
 Sinusoida
 Sinusoida
Promatrat ćemo funkciju $f(x)=A \sin (Bx+C) + D$ i crtati njen graf koji se zove sinusoida.
Međutim, idemo prvo redom vidjet što svaki od koeficijenata $A, B, C$ i $D$ znači.
$A$ je amplituda - govori da funkcija najviše ide do broja $A$, a najniže je u broju $-A$, odnosno govori koliko smo “izdužili” početnu funkciju $\sin x$.
 Amplituda sinusoide
 Amplituda sinusoide
$B$ je kružna frekvencija - utječe na period funkcije sinus, odnosno koliko često će se ponoviti isti dio funkcije. Formula za određivanje perioda $P$ za sinus je
\( P = \frac{2 \pi }{B} \)
 Kružna frekvencija
 Kružna frekvencija
$C$ je fazni pomak - govori za koliko pomičemo početnu funkciju lijevo ili desno. Pripazimo samo da ako je $C$ negativan, funkciju pomičemo ulijevo za vrijednost broja $C$, a ako je pozitivan, funkcija za $C$ ide udesno.
 Fazni pomak
 Fazni pomak
$D$ je pomak po $y$-osi - govori za koliko pomičemo početnu funkciju gore ili dolje. Ako je $D$ pozitivan, za taj broj podignemo cijelu funkciju gore, a ako je negativan, spustimo ju za taj broj.
 Pomak po y-osi
 Pomak po y-osi
Crtanje grafa funkcije sinus
Graf funkcije $f(x)=A \sin (Bx+C) + D$ crtat ćemo u 5 koraka.
1. Odredimo period funkcije preko formule $P = \frac{2 \pi }{B}$.

2. Odredimo prvu nultočku(točku gdje graf siječe x-os) $x_0$ preko formule $x_0 =- \frac{C}{B}$. Druga nultočka je udaljena za jedan period od nje, pa samo na $x_0$ dodamo period $P$, tj. $x_1 = x_0 + P$. Treća nultočka je točno između ove dvije. To lako vidimo na crtežu ili izračunamo preko formule za aritmetičku sredinu kao što piše na slici.

3. Na pola između prve i treće nultočke, tj. između $x_0$ i $x_2$ se nalazi minimum ili maksimum funkcije(najniža ili najviša točka funkcije), koji iznosi $A$. Ako je $A$ pozitivan, to će biti maksimum, a ako je negativan onda je minimum. Dalje, na pola između druge i treće nultočke, $x_1$ i $x_2$, je opet minimum ili maksimum i isto iznosi $A$, ovaj put ono što nismo imali u prvom slučaju. Dakle, ako smo prvo išli u maksimum, sada će biti minimum i obrnuto. U svakom slučaju moramo napraviti cijeli jedan “brijeg” i “dol”.

4. Napravimo skicu grafa - moramo početi od prve nultočke, zatim proći kroz minimum/maksimum, kroz sljedeću nultočku doći do maksimuma/minimuma i završiti u zadnjoj nultočki.

5. Za kraj, cijeli graf još podignemo ili spustimo za vrijednost $D$. Dakle, sve će isto izgledati, samo malo više ili niže u odnosu na skicu grafa koji smo napravili pod 4.
 Crtanje grafa funkcije sinus
 Crtanje grafa funkcije sinus
Graf funkcije kosinus
Za crtanje grafa funkcije kosinus, kosinusoide, koristit ćemo graf funkcije sinus i vezu između sinusa i kosinusa.
Sve što trebamo napraviti za crtanje kosinusoide je u kosinusov argument dodati $\frac{\pi}{2}$ i prebaciti funkciju u sinus. Tako da zapravo za kosinus ne trebamo znati ništa novo, samo ćemo ga prebaciti u sinus.
Dakle, ako nam je zadano crtanje grafa funkcije $f(x)=A \cos (Bx+C) + D$, mi ćemo crtati $f(x)=A \sin (Bx+C+ \frac{\pi}{2}) + D$. To su isti grafovi, a drugi znamo nacrtati!
Zadatci s državne mature:

Grafovi funkcija sinus i kosinus

Srednja škola
Matematika A

Svi videi su dostupni samo plaćenim korisnicima.

Svakom tko kupi neki od naših proizvoda videi će se automatski prikazati i u našim online skriptama.

Svi videi su dostupni samo plaćenim korisnicima.

Svakom tko kupi neki od naših proizvoda videi će se automatski prikazati i u našim online skriptama.