Kvadratna funkcija
Graf kvadratne funkcije
Parabola je ime za graf kvadratne funkcije, jednadžbe $y = ax^2 + bx + c$.
Tjeme parabole $T$ s koordinatama $(x_0, y_0)$ je "najisturenija" točka parabole, a koordinate dobivamo formulom:
Tjeme parabole $T$ s koordinatama $(x_0, y_0)$ je "najisturenija" točka parabole, a koordinate dobivamo formulom:
\( x_{0}=-\frac{b}{2 a} \quad i \quad y_{0}=\frac{4 a c-b^{2}}{4 a} \)
Kažemo da kvadratna funkcija ima minimum/maksimum u $x_0$, a da je vrijednost tog minimuma/maksimuma broj $y_0$.
U slučaju minimuma, kvadratna funkcija će se prvo spuštati do tjemena, odnosno padati, a onda uspinjati, odnosno rasti. Kod maksimuma je obrnuto, prvo rastemo do tjemena, a onda padamo.
U slučaju minimuma, kvadratna funkcija će se prvo spuštati do tjemena, odnosno padati, a onda uspinjati, odnosno rasti. Kod maksimuma je obrnuto, prvo rastemo do tjemena, a onda padamo.


Vodeći koeficijent
Vodeći koeficijent, odnosno broj $a$ koji se nalazi ispred $x^2$ određuje hoće li parabola biti okrenuta otvorom prema gore ili prema dolje.
$a > 0 \implies$ otvor okrenut prema gore, tj. $a$ je pozitivan pa se parabola "smije" :)
$a < 0 \implies$ otvor okrenut prema dolje, tj. $a$ je negativan pa je parabola "tužna" :(
Druga stvar, ako ne gledamo predznak ispred broja $a$, što je on veći po svojoj vrijednosti, to je parabola uža.
Druga stvar, ako ne gledamo predznak ispred broja $a$, što je on veći po svojoj vrijednosti, to je parabola uža.


Diskriminanta
Slično kao u prošloj lekciji, diskriminanta će nam govoriti koliko imamo nultočki na grafu kvadratne funckije. Formula je ista $D = b^2 -4ac$.
Zajedno s vodećim koeficijentom, diskriminanta nam može dati jako dobro ideju o izgledu i položaju same parabole.
Zajedno s vodećim koeficijentom, diskriminanta nam može dati jako dobro ideju o izgledu i položaju same parabole.


Nultočke kvadratne funkcije
Nultočkama kvadratne funkcije $f(x) = ax^2 + bx + c$ ćemo zvati brojeve $x_1$ i $x_2$, ili samo jedan od njih, za koje vrijedi $f(x_1) = f(x_2) = 0$. Drugim riječima, nultočke će biti oni $x$-evi koji su rješenje kvadratne jednadžbe $ax^2 + bx + c = 0$.
Kada crtamo, to će biti oni $x$-evi gdje graf siječe x-os.
Preko nultočki također možemo doći i do tjemena parabole $T(x_0, y_0)$.
Kada crtamo, to će biti oni $x$-evi gdje graf siječe x-os.
Preko nultočki također možemo doći i do tjemena parabole $T(x_0, y_0)$.
\( x_0 = \frac{x_1+x_2}{2} \quad i \quad y_0 = ax_0^2 + bx_0 + c \)


Crtanje grafa kvadratne funkcije
Parabolu ćemo crtati u 3 koraka.
1. Odredimo nultočke kvadratne funkcije.
2. Odredimo koordinate tjemena preko jedan od dva, gore spomenuta, načina.
3. Povučemo parabolu tako da prolazi kroz jednu nultočku, zatim kroz tjeme i onda kroz drugu nultočku. Pazimo da je kod tjemena zaobljena, da nema "špic", i da nam parabola ne kreće/završava u nekoj nultočki, nego da prolazi barem malo kroz njih.
1. Odredimo nultočke kvadratne funkcije.
2. Odredimo koordinate tjemena preko jedan od dva, gore spomenuta, načina.
3. Povučemo parabolu tako da prolazi kroz jednu nultočku, zatim kroz tjeme i onda kroz drugu nultočku. Pazimo da je kod tjemena zaobljena, da nema "špic", i da nam parabola ne kreće/završava u nekoj nultočki, nego da prolazi barem malo kroz njih.


Presjek parabole i pravca
Parabola i pravac mogu se sijeći u dvije točke, dodirivati u jednoj točki ili uopće ne sijeći.
Izjednačimo kvadratnu funkciju $ax^2 + bx + c$ s pravcem $kx + l$ i prebacimo sve na lijevu stranu te sredimo. Diskriminanta novonastale kvadratne jednadžbe nam slično kao i prije govori koliko imamo sjecišta parabole i pravca, a rješenja ove, nove kvadratne jednadžbe su upravo prve koordinate sjecišta parabole s pravcem.
Izjednačimo kvadratnu funkciju $ax^2 + bx + c$ s pravcem $kx + l$ i prebacimo sve na lijevu stranu te sredimo. Diskriminanta novonastale kvadratne jednadžbe nam slično kao i prije govori koliko imamo sjecišta parabole i pravca, a rješenja ove, nove kvadratne jednadžbe su upravo prve koordinate sjecišta parabole s pravcem.


Zadatci s državne mature: