Geometrijski niz

4. razred Matematika A Matematika B

Niz je geometrijski ako je omjer (količnik) bilo koja dva susjedna člana stalan i jednak nekom realnom broju $q$. Drugim riječima, ako za svaki prirodni broj $n$ (osim broja $1$) vrijedi

$ \frac{a_{n}}{a_{n-1}}=q $

Broj $q$ se zove količnik (kvocijent) geometrijskog niza.

Geometrijski niz još možemo zamišljati kao niz koji ima početak i onda samo taj prvi broj množimo uvijek istim brojem kako bi došli do ostalih članova niza.

Ako je prvi član $a_1$, onda je drugi $a_1 \cdot q$, treći $a_1 \cdot q^2$ i tako dalje. Primijetimo da smo kod aritmetičkog niza imali zbrajanje, a sada množenje. Samo u tome je razlika!

Opci_clan_nize_-_desktop_138373bad436102b5b99d85c6fb1660cfe8be3a11

Opci_clan_niz_-_mobile_311fc7ffbc44cf8e9a6db0f9cf0a00df551eb6664

Sada možemo napraviti i formulu za opći član geometrijskog niza:

$ a_{n}=a_{1} \cdot q^{n-1} $

Kao što smo imali aritmetičku sredinu, sada imamo i geometrijsku. Naziv geometrijski niz dolazi upravo od geometrijske sredine. Svaki član geometrijskog niza možemo dobiti kao korijen umnoška njegovog prethodnika i sljedbenika:

$ a_{n}=\sqrt{a_{n-1} \cdot a_{n+1}} $

Imamo i formulu za zbroj prvih $n$ članova geometrijskog niza. To je dakle formula za računanje: prvi član + drugi čan + $\ldots$ + $n$-ti član, gdje je $n$ taj član do kojeg želimo računati zbroj.

$ S_{n}=a_{1} \frac{q^{n}-1}{q-1} $

Prošlo gradivoAritmetički niz

Iduće gradivoGeometrijski red

PRIPREME ZA MATURU

Složi svoju kombinaciju i uštedi do

140 eura!

Povezani sadržaj:

Aritmetički niz

Geometrijski red

Besplatna videorješenja za gradivo Geometrijski niz

4. U jednome je stroju spojeno u nizu nekoliko zupčanika. Svaki zupčanik, počevši od drugoga, ima dvostruko manje zubaca od prethodnoga, što znači da prilikom rada stroja napravi dvostruko veći broj okretaja od prethodnoga. Dok se najveći zupčanik okrene $9$ puta, najmanji se okrene $1152$ puta. Koliko je zupčanika spojeno u nizu?

5. Za geometrijski niz vrijedi $ a_{3}=40 $, $ q=-2 $. Koliko iznosi prvi član toga niza?

Pretplati se na naše instrukcije ili kupi paket priprema za maturu i otključaj sve videe

11. Koliki je zbroj svih članova beskonačnoga niza $ 1,-\frac{3}{5}, \frac{9}{25},-\frac{27}{125}, \ldots $ ?

Koji su od navedenih brojeva tri uzastopna člana geometrijskoga niza?

14. Mahovinom je prekriveno $ 1.3 \mathrm{~m}^{2} $ kore drveta. Na kraju svakoga tjedna površina mahovine povećana je za $ 5 \% $ u odnosu na površinu mahovine na kraju prethodnoga tjedna. Koliku će površinu kore drveta prekriti mahovina nakon $8$ tjedana rasta?

15. Broj $ q $ količnik je geometrijskoga niza s pozitivnim članovima. Za koji od navedenih količnika $ q $ tri uzastopna člana geometrijskoga niza mogu biti duljine stranica nekoga trokuta?

15. Kojim je od navedenih općih članova $ a_{n} $ zadan padajući geometrijski niz?

16.2. Koja tri pozitivna broja treba umetnuti između brojeva $16$ i $81$ tako da tih pet brojeva čine geometrijski niz?

18. Kojim je od navedenih općih članova $ a_{n} $ zadan padajući geometrijski niz?

18.2. Prvi je član geometrijskoga niza $5 $, a četvrti $ 135 . $ Odredite drugi član toga niza.

Prva četiri člana niza prikazana su na slici. Koji je od navedenih izraza opći član toga niza?

19.2. Prvi član geometrijskoga niza je $5$, a četvrti je $ 135 . $ Odredite drugi član toga niza.

21. Koliko iznosi peti član geometrijskoga niza kojemu je prvi član 2, a četvrti -54?

ŠTO ČEKAŠ?

Isprobaj potpuno besplatno!

Registracijom dobivaš besplatan*
pristup dijelu lekcija za svaki predmet.

*Besplatan pristup ne zahtijeva unos kartice.

ZA MATURANTEOnline pripreme OD 1. DO 4. RAZREDAOnline instrukcije

Online pripreme za maturu i instrukcije za srednju školu. Dostupno 24/7.

Naša ponuda

Online skripte

Pravne stranice