Geometrijski niz

SŠ

Mat A

Mat B

Niz je geometrijski ako je omjer(količnik) bilo koja dva susjedna člana stalan i jednak nekom realnom broju $q$. Drugim riječima, ako za svaki prirodni broj $n$(osim broja $1$) vrijedi

$ \frac{a_{n}}{a_{n-1}}=q $

Broj $q$ se zove količnik(kvocijent) geometrijskog niza.

Geometrijski niz još možemo zamišljati kao niz koji ima početak i onda samo taj prvi broj množimo uvijek istim brojem kako bi došli do ostalih članova niza.

Ako je prvi član $a_1$, onda je drugi $a_1 \cdot q$, treći $a_1 \cdot q^2$ i tako dalje. Primijetimo da smo kod aritmetičkog niza imali zbrajanje, a sada množenje. Samo u tome je razlika!

Sada možemo napraviti i formulu za opći član geometrijskog niza

$ a_{n}=a_{1} \cdot q^{n-1} $

Kao što smo imali aritmetičku sredinu, sada imamo i geometrijsku. Svaki član geometrijskog niza možemo dobiti kao korijen umnoška njegovog prethodnika i sljedbenika

$ a_{n}=\sqrt{a_{n-1} \cdot a_{n+1}} $

Imamo i formulu za zbroj prvih $n$ članova geometrijskog niza. To je dakle formula za računanje: prvi član + drugi čan + $\ldots$ + $n$-ti član, gdje je $n$ taj član do kojeg želimo računati zbroj.

$ S_{n}=a_{1} \frac{q^{n}-1}{q-1} $

Zadatci s državne mature: