Elipsa

Elipsa je skup točaka u ravnini za koje je zbroj udaljenosti od dvije fiksne točke uvijek isti.

Fiksne točke nazivamo žarištima(fokusima). Označavamo ih $F_1$ i $F_2$. Njihovo polovište je središte elipse $O$.

Ako kroz fokuse elipse povučemo pravac, elipsu siječemo u dvije točke $A$ i $B$ koje su dva tjemena elipse. Dužina $\overline{A B}$ je glavna(velika) os elipse.

Okomit pravac na glavnu os koji prolazi kroz središte također siječe elipsu u dva tjemena, $C$ i $D$. Dužina $\overline{C D}$ je sporedna(mala) os elipse.

Flowers

Duljina glavne osi je $|A B|=2a$, a duljina sporedne osi je $|C D|=2 b$. Udaljenost između fokusa elipse je $|F_1 F_2|=2 e$. Broj $e$ zovemo linearni ekscentricitet elipse.

Drugim riječima, $a$ je udaljenost od središta do lijevog ili desnog kraja elipse, $b$ je od središta do gornjeg ili donjeg tjemena, a $e$ je udaljenost od središta do bilo kojeg žarišta.

\( $e^2=a^2-b^2$ \)
Flowers

Jednadžba elipse

Imamo dva oblika za jednadžbu elipse. Prvi se zove osna(kanonska) jednadžba, a drugi je standardna jednadžba. Iz jedne u drugu jednadžbu dolazimo tako da sve pomnožimo, odnosno podijelimo s $a^2 b^2$.

\( $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ \)
\( $b^2 x^2+a^2 y^2=a^2 b^2$ \)

Numerički ekscentricitet elipse mjeri izduženost elipse. Označava se s $\varepsilon$, uvijek je između $0$ i $1$, a računa se po donjoj formuli.

\( $\varepsilon= \frac{e}{a}$ \)

Elipsa i pravac

Za elipsu s jednadžbom $b^2 x^2+a^2 y^2=a^2 b^2$ i pravac s jednadžbom $y=kx+l$, imamo dvije formule.

Prva je uvjet dodira elipse i pravca: to mora biti zadovoljeno ako želimo da pravac samo dira elipsu, odnosno da joj bude tangenta.

Druga formula daje jednadžbu tangente kada imamo neku točku na elipsi. Točka ima koordinate $(x_0, y_0)$.

\( $a^2 k^2+b^2=l^2$ \)
\( $b^2 \cdot x_0 \cdot x+a^2 \cdot y_0 \cdot y=a^2 \cdot b^2$ \)
Matematika
pripreme za maturu