Drugi i treći korijen

Drugi korijen

Neka je $b$ neki pozitivan realan broj i $a$ realan broj takav da vrijedi $a^2=b$. Za odabir broja $a$ imamo dvije mogućnosti - jednu pozitivnu i jednu negativnu, i one su međusobno suprotne. Pozitivna vrijednost od te dvije je drugi korijen iz $b$. Oznaka je $a=\sqrt{b}$.

Jednostavnije, drugi korijen je onaj broj koji kada se pomnoži sam sa sobom, daje početni broj. Pazimo samo da drugi korijen mora biti pozitivan, odnosno veći od nula!

Poseban slučaj imamo ako gledamo nulu. Drugi korijen iz nula je opet nula i to je jedini put kada nemamo dva izbora i kada rješenje neće biti pozitivan broj.

Flowers

Treći korijen

Za bilo koji realni broj $b$ postoji samo jedan realni broj $a$ takav da je $a^3=b$. Broj $a$ je treći korijen iz $b$. Oznaka je $a=\sqrt[3]{b}$.

Primijetimo da za treći korijen nema nikakvih ograničenja. Možemo vaditi treći korijen iz pozitivnih i iz negativnih brojeva te iz nule. Rezultat će uvijek biti jedinstven.

Flowers

Pravila za računanje

\( \sqrt{a^2}=|a| \)
\( \sqrt[3]{a^3}=a \)
\( \sqrt{a \cdot b}=\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \)
\( \sqrt[3]{a \cdot b}=\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} \)
\( \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} , b \neq 0 \)
\( \sqrt[3]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}} , b \neq 0 \)

Djelomično korijenovanje

Ponekad ne možemo naći "lijepi" drugi ili treći korijen iz nekog broja, no možemo korjenovati samo jedan njegov dio. Taj dio će onda izaći ispred korijena, a ispod korijena ostaje ono što nismo mogli srediti.

Postupak je sljedeći:

  • rastavimo broj pod korijenom na proste faktore(to su brojevi 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, itd.)
  • pronađemo među tim brojevima parove istih brojeva ako imamo drugi korijen ili trojke ako imamo treći korijen
  • samo jedan njihov predstavnik ide ispred korijena, a svi predstavnici koji izađu se množe
  • brojevi koji nisu uspjeli naći svog para ili trojku ostaju ispod korijena i međusobno se množe
Flowers

Racionalizacija nazivnika

Racionalizirati nazivnik znači maknuti korijen iz donjeg dijela razlomka.

Prvo pogledamo s čime bi trebali pomnožiti nazivnik tako da se on nadopuni do potpunog kvadrata ili kuba. To nam je bitno jer na taj način možemo poništiti korijen. Napravimo novi razlomak koji gore i dolje ima to što smo odabrali i pomnožimo ga s početnim razlomkom.

Ako u nazivniku imamo neki izraz, racionaliziramo koristeći druge formule.

Flowers
Flowers
Matematika
pripreme za maturu