Dijeljenje i faktorizacija polinoma

Jedan broj je djeljiv drugim, ako se taj broj može napisati kao umnožak drugog broja i još nečega. Isto vrijedi i za polinome. Polinom $P$ je djeljiv polinomom $G$ ako polinom $P$ možemo zapisati kao $G$ puta još nešto.

Što se tiče dijeljenja polinoma općenito, to je vrlo slično dijeljenju običnih brojeva s ostatkom, kako se učilo u osnovnoj školi. To ćemo pokazati na primjeru.

Dijeljenje po koracima

Korak 1: Podijelimo najveću potenciju prvog polinoma s najvećom potencijom drugog polinoma, tj. onog s kojim dijelimo. U primjeru ispod, dijelimo $2x^4$ s $x^2$.

Korak 2: Rezultat zapišemo poslije znaka jednakosti i sada s tim rezultatom množimo drugi polinom po principu "svaki sa svakim". U našem slučaju množimo dobivenih $2x^2$ s polinomom $x^2-2x$.

Korak 3: Rezultat množenja pišemo ispod prvog polinoma tako da su odgovarajuće potencije jedna ispod druge. Potom donjem polinomu svugdje mijenjamo predznak, odnosno oduzimamo gornji od donjeg polinoma. Dobiveno pišemo ispod crte oduzimanja, slično kao što bi radili s običnim brojevima. U našem primjeru, množenjem smo došli do $2x^4-4x^3$ i sada od početnog polinoma to oduzmemo tako da dobijemo $x^3-5 x^2+4 x-3$.

Korak 4: Ponavljamo korake 1-3, samo za prvi polinom uzimamo rezultate koje dobijemo u koraku 3.

Korak 5: Jednom kada oduzimanjem u koraku 3 dođemo do polinoma čiji je stupanj (odnosno najveća potencija) manji od stupnja polinoma s kojim dijelimo, stajemo. Dobili smo rezultat dijeljenja desno od znaka jednako, a ispod zadnje crte imamo ostatak pri dijeljenju.

Teorem o dijeljenju polinoma s ostatkom

Za svaka dva polinoma $P$ i $G \neq 0$ postoje jedinstveni polinomi $Q$ i $R$ takvi da je $P=Q \cdot G+R$ i da vrijedi $R=0$ ili $st R < st G$.

Polinom $Q$ je količnik ili kvocijent, a polinom $R$ je ostatak. Ako je $R=0$, odnosno ako nemamo ostatak, onda je polinom $P$ djeljiv polinomom $G$.

Jednostavnijim rječnikom, svaki polinom možemo prikazati kao umnožak neka druga dva (jedinstvena) polinoma i još na to dodamo neki treći polinom (isto jedinstven).

Ostatak pri dijeljenju polinomom oblika $x-t$, gdje je $t$ neki broj, je uvijek neka konstanta, odnosno jedan broj.

Nultočka polinoma

Broj $t$ je nultočka polinoma $P$ ako je $P(t)=0$. Odnosno, $t$ je nultočka ako kada ubacimo taj broj u polinom, dobijemo da je rezultat nula.

Ako je $t$ nultočka našeg polinoma, onda je $(x-t)$ faktor tog polinoma. To znači da je polinom djeljiv s $(x-t)$, odnosno da polinom $P$ možemo prikazati kao umnožak $(x-t)$ i nekog drugog polinoma.

Faktorizirati polinom znači rastaviti ga na umnožak više zagrada oblika $(x-t)$, gdje su $t$ neki brojevi, konkretno nultočke.

Ako polinom podijelimo izrazom oblika $(x-t)$ i dobijemo ostatak $0$, znamo da je onda taj izraz jedan od faktora polinoma.

Nultočke isto tako mogu biti kompleksni brojevi. Sjetimo se, oni su oblika $z=x+yi$, gdje su $x$ i $y$ neki brojevi, a $i$ imaginarna jedinica. Vrijedi da ako je $z$ jedna kompleksna nultočka, onda je i konjugirano kompleksni broj $\bar{z}$ nultočka istog polinoma. Za naš kompleksni broj $z$, konjugirano kompleksni broj $\bar{z}$ je $x$$-y$$i$.

Osnovni poučak algebre

Svaki polinom, osim konstante, ima barem jednu nultočku u skupu kompleksnih brojeva $C$.

Poučak o faktorizaciji

Svaki polinom stupnja većeg ili jednakog jedan, ima točno toliko nultočaka u skupu kompleksnih brojeva od kojih se neke mogu ponavljati. To znači da na primjer polinom petog stupnja, odnosno onaj kojem je najveća potencija $x^5$ ima točko pet nultočaka u skupu kompleksnih brojeva.

Tada taj polinom možemo faktorizirati po sljedećem principu. Brojevi $x_1, x_2, \ldots, x_n$ su nam nultočke, a $a_n$ je neki broj različit od $0$: