Pojam derivacije

Matematika A 4. razred

Derivacija funkcije u točki $x$, oznaka $f ^{\prime} (x)$, je limes koji piše dolje u formuli. Napomenimo da $\Delta x$ predstavlja nekakvu promjenu od $x$-a, npr. od $2$ do $5$.

$ f^{\prime}\left(x_0\right) = \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x} $

No mi ćemo više gledati drugu interpretaciju derivacije. Derivacija u točki je koeficijent smjera tangente na graf funkcije $f$ u toj točki. Sjetimo se da je tangenta pravac koji graf funkcije dira u samo jednoj točki i nastavlja dalje. Njezin koeficijent smjera, odnosno nagib, smo označavali s $k$.

Tangenta na graf - desktopd9ba03d273257351ef8eaf9d6a13bf1feef80d0c

Tangenta na graf - mobile074cbe071c0bdb4ec693c7e3464dff2f6544dc68

Za funkciju ćemo reći da je derivabilna u točki ako postoji derivacija u toj točki. Ako derivacija postoji u svakoj točki na nekom intervalu, onda je ta funkcija derivabilna na intervalu. Time je definirana nova funkcija $f ^{\prime}$ koju zovemo derivacija funkcije $f$. Ukratko, sada smo samo rekli da kada kažemo "derivacija funkcije", opet očekujemo da ćemo dobiti kao rezultat nekakvu funkciju koja ovisi o $x$.

Formule

U svim daljnjim formulama, sa crticom van zagrade $()'$ označeno je deriviranje, $x$ je nepoznanica, $f$ i $g$ su funkcije, a slovima $a$, $b$, $c$ i $n$ neki realni brojevi.

$ (x)'=1 $

$ (c)^{\prime} = 0 $

$ (a x+b)^{\prime}=a $

$ \left(x^{n}\right)^{\prime}=n x^{n-1} $

$ (c f)^{\prime}=c f^{\prime} $

$ (f+g)^{\prime}=f^{\prime}+g^{\prime} $

$ (f \cdot g)^{\prime}=f^{\prime} g+f g^{\prime} $

$ \left(\frac{f}{g}\right)^{\prime}=\frac{f^{\prime} g-f g^{\prime}}{g^{2}} $

$ (f \circ g)^{\prime}(x)=(f(g(x)))^{\prime}=f^{\prime}(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) $

Prošlo gradivoLimes funkcije

Iduće gradivoPrimjena derivacija

PRIPREME ZA MATURU

Složi svoju kombinaciju i uštedi do

140 eura!

Povezani sadržaj:

Limes funkcije

Primjena derivacija

Besplatna videorješenja za gradivo Pojam derivacije

11. Na graf funkcije $ f(x)=x^{3}-6 x^{2}+17 x $ povučena je tangenta usporedna s pravcem $ y=5 x $. Koja je od navedenih jednadžba te tangente?

12. Zadana je funkcija $ f(x)=\sqrt{x^{3}+1} $. Koja je od navedenih jednadžba tangenta nagraf funkcije $ f $ u točki $ (2, y) ?$

Pretplati se na naše instrukcije ili kupi paket priprema za maturu i otključaj sve videe

20. Koja je od navedenih funkcija derivacija funkcije $ f(x)=\sqrt{3}-x^{2} $?

30. Odredite točku pravca $ y=7 x-15 $ koja je najbliža grafu funkcije $ f(x)=\frac{1}{8} x^{4}+3 x-4 $.

25.1. Odredite prvu derivaciju funkcije $ f(x)=\operatorname{tg}(3 x) $.

40. Na slici je prikazan graf funkcije $ f(x)=\frac{B-4 x}{x^{2}-4 x+5}+C $ gdje su $ B $ i $ C $ realni brojevi. U točki $ N $ funkcija postiže lokalni minimum. Odredite koordinate točke u kojoj funkcija $ f $ postiže lokalni maksimum.

37.2. Odredite derivaciju funkcije $ f(x)=5 x(3-x) $.

30. Na slici je prikazan graf funkcije $ f(x)=\frac{B-4 x}{x^{2}-4 x+5}+C $ gdje su $ B $ i $ C $ realni brojevi. U točki $ N $ funkcija postiže lokalni minimum. Odredite koordinate točke u kojoj funkcija $ f $ postiže lokalni maksimum.