Limes (granična vrijednost), označimo ga s $L$, je broj oko kojeg se nalazi beskonačno mnogo članova nekog niza $a_n$. Drugim riječima, bez obzira koliko se malo udaljimo od $L$, koliko malu okolinu gledamo, uvijek će u njoj biti beskonačno puno članova niza. Zapišimo oznaku za limes. Čitamo: "limes niza $a_n$ je $L$, kada $n$ teži (ide, pustimo) u beskonačnost".
$ \lim \limits_{x \rightarrow \infty} a_{n}=L $
limes niza $a_n$ kada $n$ teži u beskonačnost je $L$
Ako niz $a_n$ ima limes, onda je taj niz konvergentan, i konvergira prema $L$.
Ako niz $a_n$ nema limes, onda je taj niz divergentan.
Limes koji teži u beskonačnosti
Niz $(a_n)$ teži u beskonačnost ako za bilo koji broj, bez obzira koliko velik, postoji beskonačno mnogo članova niza koji su veći od njega.
Slično, teži u minus beskonačno ako za proizvoljno mali broj možemo naći beskonačno puno članova niza koji su još manji od njega.
Za niz kažemo da je konstantan ako su mu svi članovi isti. Niz $(a_n)$ gdje je $a_n$ uvijek jednak nekom broju $c$ ima limes i $\lim \limits_{x \rightarrow \infty} a_n= \lim \limits_{x \rightarrow \infty} c=c$.
Za aritmetički niz $(a_n)$ s razlikom $d>0$ vrijedi $\lim \limits_{x \rightarrow \infty} a_{n}=\infty$.
Ako je $d<0$, onda je $\lim \limits_{x \rightarrow \infty} a_{n}=-\infty$.
Za geometrijski niz $(a_n)$ s kvocijentom $|q|<1$ vrijedi $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$.
Ako je $q>1$, niz je divergentan, tj. $\lim \limits_{x \rightarrow \infty} a_{n}=\infty$.
Ako je $q \leq -1$ limes ne postoji.
Ako je $q=1$, niz je konstantan pa i konvergentan.
Računanje s limesima
$ \text{Ako }\lim \limits_{x \rightarrow \infty} a_{n}=\infty, \text { onda je } \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{a_{n}}=0 $
Ako niz teži u beskonačno, onda njegov recipročni niz teži u 0
