Geometrijski niz

4. razred Matematika A Matematika B

Niz je geometrijski ako je omjer (količnik) bilo koja dva susjedna člana stalan i jednak nekom realnom broju $q$. Drugim riječima, ako za svaki prirodni broj $n$ (osim broja $1$) vrijedi

$ \frac{a_{n}}{a_{n-1}}=q $

Broj $q$ se zove količnik (kvocijent) geometrijskog niza.

Geometrijski niz još možemo zamišljati kao niz koji ima početak i onda samo taj prvi broj množimo uvijek istim brojem kako bi došli do ostalih članova niza.

Ako je prvi član $a_1$, onda je drugi $a_1 \cdot q$, treći $a_1 \cdot q^2$ i tako dalje. Primijetimo da smo kod aritmetičkog niza imali zbrajanje, a sada množenje. Samo u tome je razlika!

Opci_clan_nize_-_desktop_138373bad436102b5b99d85c6fb1660cfe8be3a11

Opci_clan_niz_-_mobile_311fc7ffbc44cf8e9a6db0f9cf0a00df551eb6664

Sada možemo napraviti i formulu za opći član geometrijskog niza:

$ a_{n}=a_{1} \cdot q^{n-1} $

Kao što smo imali aritmetičku sredinu, sada imamo i geometrijsku. Naziv geometrijski niz dolazi upravo od geometrijske sredine. Svaki član geometrijskog niza možemo dobiti kao korijen umnoška njegovog prethodnika i sljedbenika:

$ a_{n}=\sqrt{a_{n-1} \cdot a_{n+1}} $

Imamo i formulu za zbroj prvih $n$ članova geometrijskog niza. To je dakle formula za računanje: prvi član + drugi čan + $\ldots$ + $n$-ti član, gdje je $n$ taj član do kojeg želimo računati zbroj.

$ S_{n}=a_{1} \frac{q^{n}-1}{q-1} $

Prošlo gradivoAritmetički niz

Iduće gradivoGeometrijski red

PRIPREME ZA MATURU

Složi svoju kombinaciju i uštedi do

240 eura!

Povezani sadržaj:

Aritmetički niz

Geometrijski red

Besplatna videorješenja za gradivo Geometrijski niz

4. U jednome je stroju spojeno u nizu nekoliko zupčanika. Svaki zupčanik, počevši od drugoga, ima dvostruko manje zubaca od prethodnoga, što znači da prilikom rada stroja napravi dvostruko veći broj okretaja od prethodnoga. Dok se najveći zupčanik okrene $9$ puta, najmanji se okrene $1152$ puta. Koliko je zupčanika spojeno u nizu?