Geometrijski niz

Matematika B Matematika A 4. razred

Niz je geometrijski ako je omjer (količnik) bilo koja dva susjedna člana stalan i jednak nekom realnom broju $q$. Drugim riječima, ako za svaki prirodni broj $n$ (osim broja $1$) vrijedi

$ \frac{a_{n}}{a_{n-1}}=q $

Broj $q$ se zove količnik (kvocijent) geometrijskog niza.

Geometrijski niz još možemo zamišljati kao niz koji ima početak i onda samo taj prvi broj množimo uvijek istim brojem kako bi došli do ostalih članova niza.

Ako je prvi član $a_1$, onda je drugi $a_1 \cdot q$, treći $a_1 \cdot q^2$ i tako dalje. Primijetimo da smo kod aritmetičkog niza imali zbrajanje, a sada množenje. Samo u tome je razlika!

Opci_clan_nize_-_desktop_138373bad436102b5b99d85c6fb1660cfe8be3a11

Opci_clan_niz_-_mobile_311fc7ffbc44cf8e9a6db0f9cf0a00df551eb6664

Sada možemo napraviti i formulu za opći član geometrijskog niza:

$ a_{n}=a_{1} \cdot q^{n-1} $

Kao što smo imali aritmetičku sredinu, sada imamo i geometrijsku. Naziv geometrijski niz dolazi upravo od geometrijske sredine. Svaki član geometrijskog niza možemo dobiti kao korijen umnoška njegovog prethodnika i sljedbenika:

$ a_{n}=\sqrt{a_{n-1} \cdot a_{n+1}} $

Imamo i formulu za zbroj prvih $n$ članova geometrijskog niza. To je dakle formula za računanje: prvi član + drugi čan + $\ldots$ + $n$-ti član, gdje je $n$ taj član do kojeg želimo računati zbroj.

$ S_{n}=a_{1} \frac{q^{n}-1}{q-1} $

Prošlo gradivoAritmetički niz

Iduće gradivoGeometrijski red

PRIPREME ZA MATURU

Složi svoju kombinaciju i uštedi do

140 eura!

Povezani sadržaj:

Aritmetički niz

Geometrijski red

Besplatna videorješenja za gradivo Geometrijski niz

4. U jednome je stroju spojeno u nizu nekoliko zupčanika. Svaki zupčanik, počevši od drugoga, ima dvostruko manje zubaca od prethodnoga, što znači da prilikom rada stroja napravi dvostruko veći broj okretaja od prethodnoga. Dok se najveći zupčanik okrene $9$ puta, najmanji se okrene $1152$ puta. Koliko je zupčanika spojeno u nizu?

5. Za geometrijski niz vrijedi $ a_{3}=40 $, $ q=-2 $. Koliko iznosi prvi član toga niza?

Pretplati se na naše instrukcije ili kupi paket priprema za maturu i otključaj sve videe

15. Kojim je od navedenih općih članova $ a_{n} $ zadan padajući geometrijski niz?

18. Kojim je od navedenih općih članova $ a_{n} $ zadan padajući geometrijski niz?

39.1. Odredite realne brojeve $ x $ i $ y $ tako da su $ x, $ $ 8.5 $ i $ 4 y+7 $ uzastopni članovi aritmetičkoga niza, dok su $ x, $ $ 2.5, $ $ y $ uzastopni članovi geometrijskoga niza.

30. U kocku čija je duljina brida $ 10 \mathrm{~cm} $ upisana je sfera, u tu je sferu upisana nova kocka, a u tu je kocku upisana nova sfera. Na taj se način nastavljaju upisivati iduće kocke i sfere. Izračunajte zbroj oplošja tako dobivenih sfera čije su duljine polumjera veće od $ 0.1 \mathrm{~cm} $.

6. Peti član geometrijskoga niza iznosi $1296$, a kvocijent niza jednak je $ \frac{6}{5} $. Koliko iznosi treći član toga niza?

22.2. Broj stanovnika u nekome gradu svake se godine povećao za isti postotak u odnosu na prethodnu godinu. Za šest se godina broj stanovnika povećao s $1635000$ na $2010000$ stanovnika. Koliko posto iznosi godišnje povećanje broja stanovnika toga grada?

25.1. Odredite pozitivan broj $ a $ tako da brojevi $ 72$, $a$, $162 $ budu tri uzastopna člana geometrijskoga niza.

23.2. Odredite vrijednost realnoga broja $ x $ ako je $ \sqrt[3]{x \cdot \sqrt[3]{x \cdot \sqrt[3]{x \cdot \sqrt[3]{x \cdot \ldots}}}}=10 $.

23.1. Tri pozitivna broja čine geometrijski niz. Umnožak prvoga i trećega člana jest $1.44$. Koji je drugi član toga niza?

14. Mahovinom je prekriveno $ 1.3 \mathrm{~m}^{2} $ kore drveta. Na kraju svakoga tjedna površina mahovine povećana je za $ 5 \% $ u odnosu na površinu mahovine na kraju prethodnoga tjedna. Koliku će površinu kore drveta prekriti mahovina nakon $8$ tjedana rasta?

28. U jezeru je otkriveno $10$ grama algi za koje se zna da utječu na porast populacije rakova. Naseobina algi povećava se $ 15 \% $ tjedno. Populacija rakova u jezeru počinje naglo rasti ako je u njemu više od $10000$ grama algi.

30. Zadana su četiri broja. Prva tri čine geometrijski niz, a posljednja tri aritmetički niz. Zbroj prvoga i četvrtoga broja jednak je $32$, a zbroj drugoga i trećega broja jednak je $24$. Odredite zadane brojeve.

ŠTO ČEKAŠ?

Isprobaj potpuno besplatno!

Registracijom dobivaš besplatan*
pristup dijelu lekcija za svaki predmet.

*Besplatan pristup ne zahtijeva unos kartice.

ZA MATURANTEOnline pripreme OD 1. DO 4. RAZREDAOnline instrukcije

Online pripreme za maturu i instrukcije za srednju školu. Dostupno 24/7.

Naša ponuda

Online skripte

Pravne stranice