Crtanje grafa funkcije

Crtanje grafa funkcije radimo kroz nekoliko koraka. Proći ćemo svaki posebno i pokazati na primjeru.

Korak 1: Odredimo domenu funkcije.

Korak 2: Odredimo sjecišta funkcije s koordinatnim osima (nultočke i sjecište grafa s osi $y$).

Korak 3: Odredimo asimptote fukncije.

Korak 4: Odredimo intervale monotonosti i lokalne ekstreme funkcije (prva derivacija).

Korak 5: Odredimo intervale konveksnosti, konkavnosti i točke pregiba (druga derivacija).

Korak 6: Nacrtamo graf.

Naš primjer je funkcija $f(x) = \frac{x^2}{x+1}$.

(1) Domena funkcije

Domenu funkcije računamo preko jedno od tri pravila, ovisno imamo li razlomak, korijen ili logaritam. U našem slučaju je to razlomak pa znamo da je domena cijeli $\mathbf{R}$, ali bez onih brojeva kada je nazivnik jednak $0$. Nazivnik je $0$ za $x=-1$ pa je domena $\mathrm{D}(f)=\mathbf{R} \backslash\{-1\} $.

(2) Sjecišta s koordinatnim osima

Ovdje dakle tražimo nultočke i sjecište s osi $y$.

Nultočke uvijek dobijemo tako da umjesto $f(x)$ napišemo $0$ i izračunamo $x$-eve. U našem slučaju bi trebali riješiti jednadžbu $0=\frac{x^2}{x+1}$, a to je istina samo kada je gornji dio $0$, odnosno kada je $x^2=0$. To je pak ispunjeno samo za $x=0$ pa je to naša nultočka. Koordinate točke su dakle $(0,0)$ (nultočka uvijek ima $0$ na drugom mjestu).

Sjecište s osi $y$ dobijemo tako da u početnoj funkciji sada $x$ zamijenimo s $0$ i izračunamo $y$. Ovdje ispadne $y=0$. Koordinate točke su $(0,0)$ (sjecište s osi $y$ uvijek ima $0$ na prvom mjestu).

U našem primjeru smo dobili jednu te istu točku za obje stvari $(0,0)$, no to ne mora uvijek biti slučaj. Točke koje ovdje dobijemo zabilježimo jer ćemo ih morati označiti prilikom crtanja.

(3) Asimptote funkcije

Asimptota funkcije je pravac kojem se graf neke funkcije sve više približava, ali ga nikada ne dotakne. Možemo imati vertikalne, horizontalne i kose asimptote.

Kada tražimo vertikalne asimptote, one će biti oblika $x=$neki broj. Taj broj možemo dobiti na dva načina:

• kao ono što smo izbacili iz domene (najčešće ako smo imali funkciju u obliku razlomka). U ovom slučaju trebamo još provjeriti je li brojnik različit od $0$ za taj $x$. Ako je, imamo asimptotu.
• kao početak ili kraj nekog otvorenog intervala koji čini domenu (najčešće ako smo imali neku logaritamsku funkciju). Na primjer, ako je domena $\mathrm{D}(f)= \langle - \infty , 5 \rangle$, asimptota bi bila $x=5$.

Konkretno u našem primjeru, mi smo iz domene izbacili broj $-1$ i kako imamo funkciju u obliku razlomka, provjeravamo je li brojnik tog razlomka različit od nula kada je $x=-1$. Brojnik je $(-1)^2 = 1$, što je različito od $0$, pa je dakle asimptota pravac $x=-1$.

Stavljamo i formulu za računanje vertikalne asimptote preko limesa.

Horizontalne i kose asimptote ćemo računati na isti način. Uvijek se pravimo da računamo kosu, a onda će ona nekada ispasti horizontalna.

Kako je asimptota na kraju dana isto pravac, ona ima jednadžbu $y=kx+l$, gdje su $k$ i $l$ neki brojevi. Njih dobivamo preko sljedećih formula.

Prvi limes nam daje koeficijent smjera pravca $k$. On nekada zna ispasti $0$ pa u tom slučaju nemamo kosu asimptotu, nego samo horizontalnu/e.

U našem primjeru ispadne $k=1$ i $l=-1$ pa je kosa asimptota pravac $y=x-1$.

Nacrtajmo sve što imamo za sada.

(4) Intervali monotonosti i ekstremi

U ovom koraku prije svega računamo prvu derivaciju zadane funkcije. Zatim tu derivaciju izjednačimo s nulom i gledamo koje $x$-eve dobijemo. Upravo će oni biti stacionarne točke.

Kod našeg primjera vidimo da imamo razlomak pa radimo tu derivaciju po formuli. Rezultat ispadne $\frac{x^2+2 x}{(x+1)^2}$. Kada izjednačimo razlomak s nulom, znamo da će biti nula samo ako je gornji dio nula. $x^2 + 2x = 0$ je kvadratna jednadžba čija su rješenja $x_1=0$ i $x_2=-2$. To su stacionarne točke naše funkcije.

Sada radimo tablicu tijeka. U retke stavljamo funkciju i njenu prvu derivaciju. Okomite crte su $- \infty$, stacionarne točke i točke koje nisu u domeni (poredane po veličini) te $+ \infty$. Tablicu popunjavamo na način da uzmemo neki broj između dvije vrijednosti koje vidimo na vrhu tablice te ga ubacimo u prvu derivaciju i izračunamo. Napišemo u tablicu samo + ili -, ovisno o tome jesmo li dobili pozitivan ili negativan broj. Kada sve popunimo, u redak obične funkcije crtamo strelice koje predstavljaju rast ili pad funkcije, ovisno imamo li + ili - kod prve derivacije. Na taj način jasno možemo vidjeti koje ekstreme imamo i na kojim intervalima funkcija raste, odnosno pada. Ovaj postupak za naš primjer je na slici.

Ekstreme dakle dobivamo tako da nađemo kada se događa promjena iz strelice koja ide prema gore u onu koja ide prema dolje i obrnuto. U prvom slučaju imamo maksimum, u drugom minimum.

Kada pišemo intervale rasta i pada, samo prepišemo intervale koji su određeni točkama na vrhu tablice. Ako vidimo strelicu prema gore, tamo funkcija raste, a strelica prema dolje označava interval pada. OPREZ! Trebamo pripaziti ako postoji točka koja je isključena iz domene. Tada ona razdvaja interval pada na dva intervala od kojih svaki moramo zapisati zasebno. To vidimo u našem primjeru, gdje se dva puta za redom pojavljuje strelica prema dolje, od $-2$ do $0$. Međutim, to nećemo pisati kao samo jedan interval $\langle -2, 0 \rangle$ jer je $-1$ isključen iz domene. Zato ga razdvojimo na dva kako je napisano iznad.

(5) Intervali konveksnosti, konkavnosti i točka infleksije

U ovom koraku prvo računamo drugu derivaciju zadane funkcije. Zatim tu drugu derivaciju izjednačimo s nulom i gledamo koje $x$-eve dobijemo. Upravo će oni biti točke infleksije.

Radimo dakle drugu derivaciju, odnosno deriviramo prvu derivaciju koju smo dobili u prethodnom koraku. U našem primjeru deriviramo $\frac{x^2+2 x}{(x+1)^2}$. Opet imamo razlomak pa radimo derivaciju razlomka po formuli. Ovo je malo duži postupak deriviranja, no ako budemo pažljivi dobijemo $\frac{2}{(x+1)^3}$. Izjednačimo razlomak s nulom, to jest stavimo da je gornji dio nula. Broj $2$ svakako nije jednak $0$ pa zaključujemo da nemamo točka infleksije.

Sada radimo tablicu konveksnosti i konkavnosti, slično kao gornju tablicu. U retke stavljamo funkciju i njezinu drugu derivaciju. Okomite crte su $- \infty$, točke infleksije (ako postoje) i točke koje nisu u domeni (poredane po veličini) te $+ \infty$. Tablicu popunjavamo na način da uzmemo neki broj između dvije vrijednosti koje vidimo na vrhu tablice te ga ubacimo u drugu derivaciju i izračunamo. Napišemo u tablicu samo + ili -, ovisno o tome jesmo li dobili pozitivan ili negativan broj. Kada sve popunimo, u redak funkcije crtamo obično ili naopako slovo U koje predstavlja konveksnost ili konkavnost funkcije, ovisno imamo li + ili - kod druge derivacije. Na taj način jasno možemo vidjeti točke infleksije te intervale konveksnosti i konkavnosti funkcija. Ovaj postupak za naš primjer je na slici.

(6) Crtanje grafa

Sada imamo sve informacije i možemo skicirati graf. Glavna ideja je da prvo označimo sve konkretne točke koje smo dobili jer znamo da kroz njih mora prolaziti graf. U ovom slučaju, to su nultočke, odsječak na osi $y$ te lokalni ekstremi. Nakon toga nacrtamo asimptote, ako postoje. To su pravci za koje znamo da će ih graf funkcije "pratiti", odnosno jako im blizu prolaziti. Zadnja stvar, pratimo tablicu tijeka i tablicu konveksnosti/konkavnosti tako da dobijemo ideju kako se kreće graf funkcije. Odokativno provučemo liniju prateći ova uputstva da dobijemo konačnu sliku.

Naš primjer je nacrtan dolje.

To je to! Ako uvijek pratimo ove korake, svaki zadatak s crtanjem grafa i određivanjem tijeka funkcije ćemo dobro riješiti. :)