Brojevi

Matematička indukcija

Matematička indukcija je način dokazivanja da neka tvrdnja vrijedi za sve prirodne brojeve $n$ počevši od $1$ ili od nekog prirodnog broja $n_0$.

Želimo li dokazati istinitost neke tvrdnje $T(n)$ koja ovisi o prirodnom broju $n$, koristit ćemo princip matematičke indukcije koji se sastoji od tri koraka:

1. Baza indukcije: Trebamo provjeriti da tvrdnja vrijedi za početni broj $n_0$ (najčešće je to broj $1$), tj. da je $T(n_0)$ istinita tvrdnja.

2. Pretpostavka indukcije: Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za neki broj $n$, tj. pretpostavimo da je $T(n)$ istinita tvrdnja.

3. Korak indukcije: Dokažimo da uz tu pretpostavku tvrdnja vrijedi i za broj $n+1$, tj. da iz $T(n)$ slijedi i tvrdnja $T(n+1)$.

Ako su ispunjena sva tri koraka, tada je tvrdnja $T(n)$ istinita za svaki prirodan broj $n \geqslant n_0$.

Matematičkom indukcijom možemo dokazati djeljivost brojeva, nejednakosti, geometrijske zadatke itd.

Pokažimo jedan primjer dokaza djeljivosti putem matematičke indukcije.

Binomni poučak

Binomni koeficijent $ \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) $ nam daje odgovor na pitanje: na koliko se načina iz skupa od $n$ elemenata može odabrati podskup od $k$ elemenata te ga računamo pomoću formule:

Za svaki prirodni broj $n$ i svake realne brojeve $a$ i $b$ vrijedi:

Gornju formulu zovemo binomna formula ili binomni poučak.

Primijetimo da su koeficijenti prvog i posljednjeg člana binomne formule jednaki $1$ jer $ \left( \begin{array}{c} n \\ 0 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} n \\ n \end{array} \right)=1$.

Također, možemo uočiti da svaki član binomne formule ima istu strukturu pa možemo zapisati i opći član binomne formule:

Na taj način, ubacivajući redom $k$-ove, dobit ćemo sve članove u binomnoj formuli te je možemo zapisati i na drugi način, uz pomoć sume:

Prethodna formula nam može biti korisna kada želimo izračunati onaj član u razvoju binoma koji (ne)sadržava neku potenciju. Na primjer, u razvoju binoma $(x+2)^{12}$ želimo odrediti član koji ne sadržava $x$ ili član koji sadržava $x^5$.
Također ako želimo odrediti npr. šesti član u razvoju binoma, također ćemo koristiti tu formulu. U tom slučaju ćemo staviti da je $k=5$ (jer je prvi član za $k=0$) te ćemo dobiti traženi član.