Kružnice u koordinatnom sustavu

Matematika A 3. razred

Na prošloj stranici smo već rekli kako izgledaju jednadžbe kružnica sa središtem u $S(p,q)$ i sa središtem u ishodištu $S(0,0)$ radijusa $r$. Evo jednadžbi još jednom.

$ (x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2} $

$ x^{2}+y^{2}=r^{2} $

Kružnice u posebnom položaju

Koncentrične kružnice su kružnice s istim središtem, ali različitim polumjerima.

Koncentricne_kruznice_-_desktop2d556b4103cfc93e71065611b306d8c96ac7f3fb

Koncentricne_kruznice_-_mobiled0049f014cc807d991d9a3f82ebcc055598100a6

Kružnice koje diraju koordinatne osi. Ako kružnica dira os $x$ tada je $q=r$. Ako kružnica dira os $y$ tada je $p=r$.

U slučaju kada kružnica dira obje koordinatne osi bit će $p=q=r$.

Kružnica kroz tri točke

Ako su imamo tri točke u koordinatnom sustavu, postoji točno jedna kružnica koja prolazi kroz sve njih. Do njezine jednadžbe ćemo doći tako da u opću jednadžbu kružnice (prva formula na stranici) ubacimo umjesto $x$ i $y$ koordinate zadanih točaka.

Na taj način dobijemo sustav tri jednadžbe s tri nepoznanice. Uvijek ga lagano možemo pojednostaviti tako da dva puta oduzmemo po dvije jednadžbe. Npr. od prve jednadžbe prvo oduzmemo drugu, a zatim i treću jednadžbu. To se radi tako da se lijeve strane obje jednadžbe oduzmu, a onda i desne. Na ovaj način dobijemo dvije jednadžbe s dvije nepoznanice od kuda ćemo dobiti $p$ i $q$, a $r$ dobijemo kada u bilo koju jednadžbu ubacimo upravo izračunate $p$ i $q$.

Kružnica i pravac

Kružnica i pravac mogu se:

sjeći u dvije točke ($d<r$, $d$ je udaljenost središta kružnice od pravca)
dirati se u jednoj točki ($d=r$)
uopće ne sjeći ($d>r$)

Do sjecišta kružnice i pravca (ako ih imamo) dolazimo rješavanjem sustava jednadžbi koji čine jednadžba kružnice i jednadžba pravca.

Uvjet dodira pravca i kružnice. Pravac $y=kx+l$ dira kružnicu $(x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2}$ ako vrijedi:

$ r^{2}\left(1+k^{2}\right)=(q-k p-l)^{2} $

Tangenta na kružnicu. Jednadžba tangente u točki $T(x_0,y_0)$ na kružnicu je:

$ \left(x_{0}-p\right)(x-p)+\left(y_{0}-q\right)(y-q)=r^{2} $

Tangenta_i_normala_-_desktopb53f2d795c9e74558346a0b8ce4a1778df81812c

Tangenta_i_normala_-_mobile4b382435ade5aa6f9eb1b802ed911b40b913dc0e

Napomena! Ako se traži tangenta na kružnicu iz točke $T(x_0,y_0)$ koja nije na kružnici, potrebno je riješiti sustav od dvije jednadžbe: jednadžba pravca koji prolazi točkom $T(x_0,y_0)$ i jednadžba kružnice.

Normala na kružnicu. Jednadžba normale u točki $T(x_0,y_0)$ na kružnicu je:

$ y-q=\frac{y_{0}-q}{x_{0}-p}(x-p) $

Tangenta_i_normala_-_desktop_11debfb01c43097571c489a7f1ca683f50d3bbcaf

Tangenta_i_normala_-_mobile_1a6b3ca8d99c69e212f1d4a0e4643a823c2ccf1ff

Kut pod kojim pravac siječe kružnicu. Taj kut je kut između pravca i tangente na kružnicu u točki presjeka. Za koeficijent smjera pravca $k_1$ i koeficijent smjera tangente $k_2$ vrijedi da se kut $\alpha$ između pravca i kružnice računa kao:

Tangenta_i_normala_-_desktop_286cf0c793984c07747d9a735d673c16c1082be01

$ \operatorname{tg} \alpha=\left|\frac{k_{1}-k_{2}}{1+k_{1} k_{2}}\right| $

Međusobni položaj dviju kružnica

Dvije kružnice mogu se:

sjeći u dvije točke
imati jednu zajedničku točku (dirati se iznutra ili izvana)
uopće ne dodirivati.

Do sjecišta dviju kružnica (ako ih imamo) dolazimo rješavanjem sustava jednadžbi koji čine dvije jednadžbe dviju kružnica.

Kut pod kojim se kružnice sijeku. Kut između dvije tangente u točki presjeka tih dviju kružnica.

Prošlo gradivoJednadžba kružnice

Iduće gradivoElipsa

ONLINE INSTRUKCIJE

Instrukcije cijeli mjesec, 5 predmeta,

13 eura!

Povezani sadržaj:

Jednadžba kružnice

Elipsa

Besplatna videorješenja za gradivo Kružnice u koordinatnom sustavu

21.1. Napišite jednadžbu kružnice sa slike.

21.2. Odredite jednadžbu tangente na kružnicu $ x^{2}+(y-2)^{2}=10 $ koja dira kružnicu u točki iz $III.$ kvadranta i usporedna je s pravcem $ y=-\frac{1}{3} x $.

Pretplati se na naše instrukcije ili kupi paket priprema za maturu i otključaj sve videe

38.1. Dokažite da kružnica $ x^{2}+y^{2}+p x-p y+0.25 p^{2}=0 $ dodiruje obje koordinatne osi za sve $ p \neq 0 $.

39.1. Kružnica sa središtem u prvome kvadrantu pravokutnoga koordinatnog sustava prolazi točkama $ (0,0) $ i $ (6,0) $. Duljina tetive koju ta kružnica odsijeca na osi $ y $ jednaka je duljini polumjera te kružnice. Odredite jednadžbu te kružnice.