Korijeni

n-ti korijen

Neka je $n$ prirodan broj i neka je $a^n=b$. Kažemo da je $a$ $n$-ti korijen iz $b$. Oznaka je $a = \sqrt[n]{b}$.

Ako je $n$ neparan broj, onda je korijen jedinstven i on može biti ili pozitivan ili negativan.
Ako je $n$ paran broj, onda je $n$-ti korijen uvijek pozitivan. U tom slučaju i $b$, odnosno broj iz kojeg vadimo korijen, isto mora biti pozitivan.

Naravno, ako vadimo bilo koji korijen iz nule, rezultat će uvijek biti nula.

Pravila za računanje

$ \sqrt[n]{a \cdot b}=\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} $

$ \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}, b \neq 0 $

$ a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m} $

$ a^{\frac{m}{n}}=\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^m=\left(a^m\right)^{\frac{1}{n}} $

$ a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}} $

Pravila za računanje (potencije)

Ova pravila smo učili prije, ali svakako i dalje vrijede i bit će nam potrebna. Vrijede neovisno o tome je li u eksponentu razlomak ili ne.

$ a^{-n}=\frac{1}{a^{n}} $

$ \left(\frac{x}{y}\right)^{-m}=\left(\frac{y}{x}\right)^m $

$ a \cdot x^{n} \pm b \cdot x^{n}=(a \pm b) \cdot x^{n} $

$ x^{n} \cdot x^{m}=x^{n+m} $

$ \frac{x^{n}}{x^{m}}=x^{n-m} $

$ x^{n} \cdot y^{n}=(x y)^{n} $

$ \frac{x^{n}}{y^{n}}=(\frac{x}{y})^{n} $

$ \left(x^{n}\right)^{m}=x^{n m} $

Racionalizacija nazivnika

Racionalizirati nazivnik znači maknuti korijen iz donjeg dijela razlomka.

Radimo isto kao u slučaju drugog i trećeg korijena. Prvo pogledamo s čime bi trebali pomnožiti nazivnik tako da se on nadopuni do pune potencije. Dakle, ako imamo $n$-ti korijen, trebamo dobiti taj korijen na $n$-tu. To nam je bitno jer na taj način možemo poništiti korijen. Napravimo novi razlomak koji gore i dolje ima to što smo odabrali i pomnožimo ga s početnim razlomkom.

Ako u nazivniku imamo neki izraz, racionaliziramo koristeći druge formule.