Besplatna videorješenja za gradivo Binomni koeficijenti
5. Koji broj je rješenje jednadžbe $ \left(\begin{array}{l}n \\ 2\end{array}\right)=\frac{1}{2} n^{2}-3 ?$ Napomena: $ \left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)=\frac{n !}{k !(n-k) !} $.
7. U potpuno sređenome izrazu $ (a+x)^{5} $ koeficijent uz $ x^{2} $ jednak je $640$. Kolika je vrijednost $ a $?
38.1. Pojednostavnite do kraja izraz \( \frac{n^{2} \cdot n !-n !}{(n+1) !} \) za svaki \( n \in \mathbf{N} \).
29.1. Pojednostavnite do kraja izraz $ \frac{n^{2} \cdot n !-n !}{(n+1) !} $ za svaki $ n \in \mathbf{N} $.
22.2. Izračunajte koliko je$ \left(\begin{array}{c}100 \\ 0\end{array}\right) \cdot 2^{100}-\left(\begin{array}{c}100 \\ 1\end{array}\right) \cdot 2^{99}+\left(\begin{array}{c}100 \\ 2\end{array}\right) \cdot 2^{98}-\ldots+\left(\begin{array}{c}100 \\ 98\end{array}\right) \cdot 2^{2}-\left(\begin{array}{c}100 \\ 99\end{array}\right) \cdot 2+\left(\begin{array}{c}100 \\ 100\end{array}\right) $
23.1. Neka je prirodan broj $ n $ takav da vrijedi $ \left(\begin{array}{l}n \\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}n \\ 2\end{array}\right) $. Odredite onaj član u razvoju binoma $ (a+2)^{n} $ koji sadržava $ a^{3} $. Napomena: $ \left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)=\frac{n !}{k !(n-k) !} $.
30. Riješite nejednadžbu $\frac{[7 !(n+1) !]^{2}-7 ! 8 ! n !(n+1) !-2 \cdot(8 ! n !)^{2}}{[7 !(n+1) !]^{2}-(8 ! n !)^{2}}<0$.
29.5. Umnožak prvih $ n $ prirodnih brojeva je $272$ puta veći od umnoška prvih $ n-2 $ prirodnih brojeva. Odredite koeficijent uz $ x^{15} $ u razvoju binoma $ (x+4)^{n} $.
19.1. Odredite $ n $ za koji vrijedi $ 3 \cdot\left(\begin{array}{c}n-1 \\ n-4\end{array}\right)=22 \cdot\left(\begin{array}{c}n-2 \\ 2\end{array}\right) $.
21.2. Zadan je broj $ a=1 ! \cdot 2 ! \cdot 3 ! \cdot 4 ! \cdot 5 ! \cdot 6 ! \cdot 7 ! \cdot 8 ! \cdot 9 ! \cdot 10 ! $. S koliko nula završava broj $ a $?
15. Koliki je ostatak pri dijeljenju broja $ 1 !+2 !+3 !+4 !+5 !+\ldots+15 ! $ brojem $ 30 ? $
13. Kojemu je od navedenih binomnih koeficijenata jednak binomni koeficijent $ \left(\begin{array}{c}24 \\ k+13\end{array}\right) $ za sve $ k $ za koje je definiran?
8. Koliki je koeficijent uz potenciju $a^{27}$ u raspisu izraza $\left(a^{3}+4\right)^{10} ?$
9. Za koji su prirodan broj $ n $ u razvoju binoma $ \left(x^{2}+y\right)^{n} $ vrijednosti binomnih koeficijenata petoga i osmoga člana jednake? Napomena: $ \left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)=\frac{n !}{k ! \cdot(n-k) !} $.