Drugi i treći korijen

Drugi korijen

Neka je $b$ neki pozitivan realan broj i $a$ realan broj takav da vrijedi $a^2=b$. Za odabir broja $a$ imamo dvije mogućnosti - jednu pozitivnu i jednu negativnu, i one su međusobno suprotne. Pozitivna vrijednost od te dvije je drugi korijen iz $b$. Oznaka je $a=\sqrt{b}$.

Jednostavnije, drugi korijen je onaj broj koji kada se pomnoži sam sa sobom, daje početni broj. Pazimo samo da drugi korijen mora biti pozitivan, odnosno veći od nula!

Poseban slučaj imamo ako gledamo nulu. Drugi korijen iz nula je opet nula i to je jedini put kada nemamo dva izbora i kada rješenje neće biti pozitivan broj.

Treći korijen

Za bilo koji realni broj $b$ postoji samo jedan realni broj $a$ takav da je $a^3=b$. Broj $a$ je treći korijen iz $b$. Oznaka je $a=\sqrt[3]{b}$.

Primijetimo da za treći korijen nema nikakvih ograničenja. Možemo vaditi treći korijen iz pozitivnih i iz negativnih brojeva te iz nule. Rezultat će uvijek biti jedinstven.

Pravila za računanje

Djelomično korjenovanje

Ponekad ne možemo naći "lijepi" drugi ili treći korijen iz nekog broja, no možemo korjenovati samo jedan njegov dio. Taj dio će onda izaći ispred korijena, a ispod korijena ostaje ono što nismo mogli srediti. Takvo korjenovanje se zove djelomično korjenovanje.

Postupak je sljedeći:

• rastavimo broj pod korijenom na proste faktore (to su brojevi 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, itd.)
• pronađemo među tim brojevima parove istih brojeva ako imamo drugi korijen ili trojke ako imamo treći korijen
• samo jedan njihov predstavnik ide ispred korijena, a svi predstavnici koji izađu se množe
• brojevi koji nisu uspjeli naći svog para ili trojku ostaju ispod korijena i međusobno se množe

Racionalizacija nazivnika

Racionalizirati nazivnik znači maknuti korijen iz donjeg dijela razlomka.

Prvo pogledamo s čim bi trebali pomnožiti nazivnik tako da se on nadopuni do potpunog kvadrata ili kuba. To nam je bitno jer na taj način možemo poništiti korijen. Napravimo novi razlomak koji gore i dolje ima to što smo odabrali i pomnožimo ga s početnim razlomkom.

Ako u nazivniku imamo neki izraz, racionaliziramo koristeći druge formule.

Imaginarna jedinica

Rekli smo da moramo paziti da drugi korijen mora biti pozitivan, odnosno veći od nula.
Negativni broj nema drugi realni korijen jer je kvadrat svakog realnog broja nenegativan broj. Na primjer, ne postoji realan broj za koji vrijedi $x^2=-4$ ili $x^2=-9$. Stoga uvodimo novi broj "$i$" koji nije realan broj. Taj broj se zove imaginarna jedinica te za njega vrijedi $i^2=-1$, odnosno $\sqrt{-1}=i$. Uvođenjem imaginarne jedinice proširujemo skup realnih brojeva na kompleksne brojeve kojima ćemo se više baviti nešto kasnije.

Koristeći imaginarnu jedinicu možemo izračunati drugi korijen iz bilo kojeg negativnog broja.