Drugi i treći korijen

Drugi korijen

Neka je $b$ neki pozitivan realan broj i $a$ realan broj takav da vrijedi $a^2=b$. Za odabir broja $a$ imamo dvije mogućnosti - jednu pozitivnu i jednu negativnu, i one su međusobno suprotne. Pozitivna vrijednost od te dvije je drugi korijen iz $b$. Oznaka je $a=\sqrt{b}$.

Jednostavnije, drugi korijen je onaj broj koji kada se pomnoži sam sa sobom, daje početni broj. Pazimo samo da drugi korijen mora biti pozitivan, odnosno veći od nula!

Poseban slučaj imamo ako gledamo nulu. Drugi korijen iz nula je opet nula i to je jedini put kada nemamo dva izbora i kada rješenje neće biti pozitivan broj.

Drugi korijen primjer - desktop2f6423c098b11801105ecc6f5567851723ed240e

Drugi korijen primjer - mobilee7955359cf3a9dcc49bdfa257417a427b636322a

Treći korijen

Za bilo koji realni broj $b$ postoji samo jedan realni broj $a$ takav da je $a^3=b$. Broj $a$ je treći korijen iz $b$. Oznaka je $a=\sqrt[3]{b}$.

Primijetimo da za treći korijen nema nikakvih ograničenja. Možemo vaditi treći korijen iz pozitivnih i iz negativnih brojeva te iz nule. Rezultat će uvijek biti jedinstven.

Treci korijen primjer - desktop – 1ae6f9af87be0f77ac11fa5236166cc8acc354403

Treci korijen primjer - mobile – 1dd2e3d643ffbc5f0ce1afa1f42a92ee1ba43c7fd

Pravila za računanje

$ \sqrt{a^2}=|a| $

$ \sqrt[3]{a^3}=a $

$ \sqrt{a \cdot b}=\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $

$ \sqrt[3]{a \cdot b}=\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} $

$ \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} , b \neq 0 $

$ \sqrt[3]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}} , b \neq 0 $

Djelomično korjenovanje

Ponekad ne možemo naći "lijepi" drugi ili treći korijen iz nekog broja, no možemo korjenovati samo jedan njegov dio. Taj dio će onda izaći ispred korijena, a ispod korijena ostaje ono što nismo mogli srediti. Takvo korjenovanje se zove djelomično korjenovanje.

Postupak je sljedeći:

rastavimo broj pod korijenom na proste faktore (to su brojevi 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, itd.)
pronađemo među tim brojevima parove istih brojeva ako imamo drugi korijen ili trojke ako imamo treći korijen
samo jedan njihov predstavnik ide ispred korijena, a svi predstavnici koji izađu se množe
brojevi koji nisu uspjeli naći svog para ili trojku ostaju ispod korijena i međusobno se množe

Djelomicno korijenovanje - desktopc5885ae41cbbdf53db53e56a633d040c49f05834

Djelomicno korijenovanje - mobilee0473aaf43b5b3a9c8abcd07e2f02638a1abd224

Racionalizacija nazivnika

Racionalizirati nazivnik znači maknuti korijen iz donjeg dijela razlomka.

Prvo pogledamo s čim bi trebali pomnožiti nazivnik tako da se on nadopuni do potpunog kvadrata ili kuba. To nam je bitno jer na taj način možemo poništiti korijen. Napravimo novi razlomak koji gore i dolje ima to što smo odabrali i pomnožimo ga s početnim razlomkom.

Ako u nazivniku imamo neki izraz, racionaliziramo koristeći druge formule.