Skup možemo shvatiti kao bilo kakvu kolekciju različitih objekata. Članove koji tvore skup zovemo elementima skupa.
Prirodni brojevi su oni brojevi do kojih možemo doći kada krenemo brojati od 1 na dalje, dakle 1, 2, 3, 4, ...
Cijeli brojevi su svi prirodni brojevi, nula i svi prirodni brojevi s minusom ispred.
Racionalni brojevi su oni brojevi koje možemo zapisati u obliku razlomka, npr. $\frac{m}{n}$, gdje je $m$ cijeli broj, a $n$ prirodan broj različit od 0.
Iracionalni brojevi su oni brojevi koji imaju beskonačan neperiodični decimalni zapis, tj. oni brojevi koje ne možemo napisati kao razlomak $\frac{m}{n}$, gdje je $m$ cijeli, a $n$ prirodan broj.
Realni brojevi su oni brojevi koji su ili racionalni ili iracionalni.
Računske operacije među skupovima
Kažemo da je skup $A$ podskup skupa $B$ ako je svaki element skupa $A$ ujedno i element skupa $B$.
Pišemo $A \subseteq B$.
Ako unutar nekog skupa $U$ promatramo odnose među njegovim podskupovima, skup $U$ zovemo univerzalni skup.
Unija skupova $A$ i $B$, oznake $A \cup B$, je skup koji sadrži sve elemente koji pripadaju bilo kojem od skupova $A$ ili $B$.
Presjek skupova $A$ i $B$, oznake $A \cap B$, je skup koji sadrži sve elemente koji se nalaze i u skupu $A$ i u skupu $B$.
Ako skupovi $A$ i $B$ u presjeku nemaju zajedničkih elemenata, kažemo da su oni disjunktni skupovi.
Razlika skupova $A$ i $B$, oznake $A \backslash B$, je skup koji sadrži sve elemente koji se nalaze u skupu $A$, ali nisu u skupu $B$.
Neka je $A \subseteq U$. Komplement skupa $A$ je skup koji sadrži sve elemente univerzalnog skupa $U$ koji se ne nalaze u skupu $A$. Oznaka je $A^{C}$.
Kardinalni broj skupa je broj elemenata u skupu. Drugim riječima, to je broj članova ili broj vrijednosti koliko imamo u skupu. Oznaka je $card(S)$, za neki skup $S$.
Skup bez elemenata zovemo prazan skup. Oznaka je $\varnothing$.
Prisjetimo se sljedećih pojmova.
Prosti i složeni brojevi
Prirodne brojeve možemo podijeliti na proste i složene.
Prosti brojevi su oni brojevi koji su djeljivi samo s $1$ i sa samim sobom. Dakle, imaju točno dva djelitelja. Takvi su npr. $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 \ldots$
Složeni brojevi su oni koji nisu prosti, odnosno oni brojevi koji imaju više od dva djelitelja. Takvi su $4, 6, 8, 9, 10, 12, \ldots$
Broj $1$ nije niti prost niti složen broj.
Najveći zajednički djelitelj i najmanji zajednički višekratnik
Najveći zajednički djelitelj brojeva $a$ i $b$, pod oznakom $nzd (a,b)$, je najveći broj koji je djelitelj i broja $a$ i broja $b$.
Najmanji zajednički višekratnik brojeva $a$ i $b$, pod oznakom $nzv (a,b)$, je najmanji broj koji je višekratnik i broja $a$ i broja $b$.
Najbolje ćemo objasniti na primjeru: nađimo $nzd (18, 24)$ i $nzv (18, 24)$.
Dijeljenje s ostatkom
Zapis racionalnih brojeva
Rekli smo da su racionalni brojevi su oni brojevi koje možemo zapisati u obliku razlomka npr. $\frac{m}{n}$ te se takav zapis zove razlomački zapis. Međutim, ako podijelimo broj $m$ brojem $n$ dobit ćemo decimalni zapis.
Prisjetimo se:
- $1.235$ konačni decimalni zapis
- $1.235235235235...=1.\dot{2}3\dot{5}$ periodički decimalni zapis
- $1.23535353535...=1.2\dot{3}\dot{5}$ mještovito periodički decimalni zapis
Također, možemo i obratno, iz decimalnog zapisa doći u razlomački zapis. Objasnimo po gornjim slučajevima.
- decimalni broj koji ima konačan decimalni zapis pretvaramo u razlomak tako da u brojnik zapišemo taj broj bez decimalne točke, a u nazivnik pišemo broj $1$ i dodajemo onoliko nula koliko ima decimalnih mjesta
- ako broj ima periodički decimalni zapis, u brojnik zapišemo taj broj bez decimalne točke te oduzmemo onaj broj koji predstavljaju znamenke koje se ne ponavljaju, a u nazivnik pišemo broj $9$ onoliko puta koliko ima znamenki koje se ponavljaju
- ako broj ima mješovito periodički decimalni zapis, u brojnik zapišemo taj broj bez decimalne točke te oduzmemo onaj broj koji predstavljaju znamenke koje se ne ponavljaju, a u nazivnik pišemo broj $9$ onoliko puta koliko ima znamenki koje se ponavljaju, zatim broj $0$ onoliko puta koliko ima znamenki koje se ne ponavljaju, a nalaze se nakon decimalne točke
Najbolje ćemo uočiti na primjerima:
