Harmonijsko titranje tijela na opruzi i matematičkog njihala

Harmonijsko titranje

Gibanje tijela koje se periodički ponavlja i možemo ga opisati funkcijom sinus zovemo harmonijskim titranjem. Takvo gibanje karakterizira vrijeme koje je potrebno tijelu da napravi jedan titraj, odnosno da se vrati u položaj i stanje iz kojeg je počelo titrati. To vrijeme zovemo periodom titranja \(T\), a broj titraja u jedinici vremena zovemo frekvencija \(f\).

Položaj u kojemu bi se tijelo koje titra nalazilo kada bismo ga zaustavili i umirili zove se razvnotežni položaj. Svaka udaljenost od ravnotežnog položaja naziva se elongacija, a najveći odmak od ravnotežnog položaja do kojeg se tijelo pomakne zovemo amplitudom titranja \(A\).

Titranje možemo matematički opisati sinus funkcijom ovisnosti položaja \(x\) o proteklom vremenu \(t\):

Veličina \(\varphi_0\) predstavlja početni fazni pomak, tj. pomoću nje definiramo iz kojeg je položaja tijelo počelo titrati. Kada tijelo prolazi ravnotežnim položajem, njegova je brzina maksimalna, a u položajima amplitude se na trenutak zaustavlja pa mu je brzina u tom trenutku jednaka nuli. To znači da se mjesta gdje je brzina najveća podudaraju s mjestima gdje je odmak od ravnotežnog položaja jednak nuli i obrnuto. To znači da brzinu u ovisnosti o vremenu možemo opisati:

Najveća brzina koju tijelo koje titra postiže iznosi:

Za harmonijsko titranje tijela potrebna je harmonijska povratna sila koja nastoji vratiti tijelo u položaj ravnoteže. Ako na tijelo djeluje neka rezultantna sila, onda to tijelo ima akceleraciju. Akceleracija se također mijenja u vremenu i iznosi:

Minus u ovoj formuli znači samo da je smjer akceleracije uvijek prema ravnotežnom položaju, što je suprotno od smjera pomaka čestice koja titra. Najveći iznos akceleracije postiže se u položaju amplitude i on je jednak:

Na grafu možemo vidjeti ovisnosti brzine i akceleracije o vremenu. Vidimo da je akceleracija maksimalna u trenutku kada je brzina jednaka nuli (amplituda) i obrnuto (ravnoteža).

Titranje tijela na elastičnoj opruzi

Jedan od primjera tijela koje harmonijski titra je tijelo određene mase \(m\) ovješeno na oprugu konstante elastičnosti \(k\).

Neopterećena opruga ima određenu duljinu koju možemo označiti s \(l_0\). Kada na nju ovjesimo uteg određene mase, ona će se produljiti za iznos \(\Delta l\). Ako tijelo miruje na opruzi ukupna sila na njega je jednaka nuli, tj. elastična sila je po iznosu jednaka gravitacijskoj sili, a po smjeru suprotna.

Ako tijelo izvučemo iz položaja ravnoteže (stegnemo ili rastegnemo oprugu) i pustimo, ono će harmonijski titrati stalnim periodom. Period titranja tijela na elastičnoj opruzi ovisi o konstanti elastičnosti i o masi tijela:

Energija titranja tijela na elastičnoj opruzi

S obzirom na to da tijelo titra na elastičnoj opruzi, ukupnoj energiji ovog sustava doprinose kinetička energija tijela i elastična potencijalna energija opruge:

Kada tijelo prolazi ravnotežnim položajem njegova je elongacija jednaka nuli pa samim time i elastična potencijalna energija iznosi nula. U tom je položaju ukupna energija jednaka kinetičkoj energiji maksimalnog iznosa. U položaju amplitude tijelo se zaustavlja i kinetička mu je energija jednaka nuli, a sva energija sustava je u elastičnoj potencijalnoj energiji maksimalnog iznosa.

Maksimalne vrijednosti kinetičke i elastične potencijalne energije možemo izračunati po formulama:

Graf prikazuje ovisnost energija o odmaku od ravnotežnog položaja. Možemo vidjeti da je ukupna energija tokom titranja očuvana, tj. ima konstantan iznos, a mijenjaju se iznosi pojedine energije (kinetičke i elastične potencijalne).

Matematičko njihalo

Matematičko njihalo se sastoji od tijela mase \(m\) ovješenog o nerastezljivu nit duljine \(l\). Sile koje djeluju na tijelo ovješeno o nit su sila napetosti i sila teža.

Ako njihalo otklonimo iz položaja ravnoteže, sila teža se rastavlja na komponente od kojih jedna ima ulogu povratne sile koja želi vratiti njihalo u položaj ravnoteže. To njihalo harmonijski titra periodom koji ovisi o gravitacijskom ubrzanju sile teže \(g\) i o duljini niti njihala \(l\):

Energije matematičkog njihala

Masa koja titra ovješena o nit matematičkog njihala ima brzinu čiji se iznos mijenja u vremenu te kao kod svakog harmonijskog titranja mijenja svoj položaj u vremenu. Ukupna energija ovog sustava sastoji se od potencijalne (gravitacijske) i kinetičke energije.

U položaju amplitude, tijelo ima kinetičku energiju koja je jednaka nuli i ukupna energija je jednaka gravitacijskoj potencijalnoj energiji zbog toga što se tijelo nalazi na određenoj visini u odnosu na ravnotežni položaj. Kada tijelo prolazi ravnotežnim položajem, njegova je brzina maksimalna, a visina jednaka nuli te ono ima maksimalnu kinetičku energiju.