Aritmetički niz

SŠ

Mat A

Mat B

Niz je aritmetički ako je razlika bilo koja dva susjedna člana stalna i jednaka nekom realnom broju $d$. Drugim riječima, ako za svaki prirodni broj $n$(osim broja $1$) vrijedi

$ a_{n}-a_{n-1}=d $

Broj $d$ se zove razlika(diferencija) aritmetičkog niza.

Aritmetički niz još možemo zamišljati kao niz koji ima početak i onda samo na taj prvi broj dodajemo uvijek isti broj kako bi došli do ostalih članova niza.

Ako je prvi član $a_1$, onda je drugi $a_1 + d$, treći $a_1 + 2d$ i tako dalje

Po tome možemo napraviti i formulu za opći član aritmetičkog niza

$ a_{n}=a_{1}+(n-1) d $

Naziv aritmetička sredina upravo dolazi od aritmetičkog niza jer svaki član niza možemo dobiti kao aritmetičku sredinu njegovog prethodnika i njegovog sljedbenika

$ a_{n}=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2} $

Imamo i formulu(zapravo dvije) za zbroj prvih $n$ članova aritmetičkog niza. To je dakle formula za računanje: prvi član + drugi čan + $\ldots$ + $n$-ti član, gdje je $n$ taj član do kojeg želimo računati zbroj.

$ S_{n}=\frac{n}{2}\left(a_{1}+a_{n}\right) = n a_{1}+\frac{n(n-1)}{2} d $

Zadatci s državne mature: